終端速度

この問題が分かりませんお願いします

No.1 回答者： spookyaction 回答日時： 2016/05/07 16:38

m(dv/dt) = mg - kv

この微分方程式を解いて、v(t)を求める。終端速度は、そのv(t)のt -> ∞としたときの極限値になる。あるいは、終端速度は一定になるという前提でやるのなら、終端速度に達した時点で加速度は０になるので、dv/dt=0としてvを求めてもいいんじゃなかろうか。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/07 22:31

微分を使っているので、物理としては大学の問題ですね？

　力学の基本です。
　ここで解を与えてしまうと、右上の選択肢にある「１～３」のどれにも当てはまらなくなってしまいます。せめて「2」と答えらあれるように、ちゃんと復習して理解してください。
　これが分からなければ、大学の力学、そして「工学」全般、さらにこの先にある「解析力学」や「量子力学」は絶望的ですから。

（１）運動方程式は、高校物理でも習います。
　　F = ma
ここで、F：力(N)、m：質量(kg)、a：加速度(m/s^2) です。
　F という「力」が働くと、右辺のような「運動」が起こるということです。

　この問題では、「無重力状態」なので、重力加速度は働かず
　　力：物体に働く粘性抵抗力：F = -kv
ですから、「運動」は
　　-kv = ma
ということになります。この運動では加速度
　　a = -kv/m　　　　(A)
が発生することになります。
　加速度を a = dv/dt と書けば
　　dv/dt = -kv/m　　　　(B)
ということです。

（２）が先に出てくるのは、高校物理では「微積分」を使わないので、（３）で求められている「一般解」を求めることができないからでしょう。
　「終端速度」とは、時間が十分に経って「平衡状態に達したときの速度」ということです。そこでは「平衡状態」なので、もはや速度は変化しません。つまり「加速度はゼロ」なのです。
　つまり(A)または（B)の式で a = dv/dt = 0 ということです。

　従って
　　-kv/m = 0
k ≠ 0 ですから、
　　v = 0
ということになります。つまり「最終的には静止する」ということです。普通に想像したことと同じでしょう？
　　
（３）一般解を求めるには、(B)の微分方程式を解く必要があります。
　この(B)の運動方程式は、「左辺：速度 v を微分したもの」の結果である右辺に、「ｖそのもの」があるので、「dv/dt = 定数」のような場合のように、単純に v を求めることはできません。

　高校レベルの積分の知識があれば、変数分離して
　　dv/v = (-k/m)dt
を積分して
　　∫dv/v = ∫(-k/m)dt
より
　　∫dv/v = ln(v) + C1　　←lnは自然対数、C1は積分定数
　　∫(-k/m)dt = (-k/m)∫dt = (-k/m)t + C1　　←C1は積分定数
なので
　　ln(v) = (-k/m)t + C3　　←C3は積分定数
となります。対数を定義通りに「指数」に変換すればC = exp(C3)として
　　v = C * exp[ (-k/m)t ] 　　　　　(D)　

　これが求める「一般解」です。
　時間の最初 t=0 のときが最大で、時間とともに「最初大きく減速し、だんだん減速の度合いが小さくなってくる」という変化です。
　あまり良い例が見つかりませんでしたが、下記リンク先の「第2図」の「コンデンサーの放電特性」（赤線、(4)式）のようなグラフになります。
http://www.jeea.or.jp/course/contents/01118/

（４）上で求めた（D)式で、初速度（ t=0 のときの速度）を V0 とすれば
　　C = V0
となって
　　v = V0 * exp[ (-k/m)t ] 　　(E)　
となります。

No.3 回答者： spookyaction 回答日時： 2016/05/08 11:21

＃1ですが、無重力状態というのを見逃してました。

mgは必要ありませんでしたね。私の回答は無視してください。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/08 11:30

No.2です。

ちょっと補足。

（３）（４）の式で、「 exp[ ] 」と書いたのは、「 e の [ ] 乗」の意味です。

exp[ -At ] = e^( -At )
（ ^ は「べき乗」を表わす）

ということです。

テキスト文字だけでできるだけ正確に伝わるようにそう書いています。

蛇足ながら、ご質問のような問題は、よく「大気中を、上空から落下する雨滴の速度」の問題として出題されます。
質量 m の雨滴は、重力 mg と、空気の抵抗 -kv (落下速度に比例する空気の抵抗力）を受けるので、運動方程式は
　　mg - kv = m * dv/dt　　　（１）
になります。（No.1さんの回答はこれですね）

これだと、大気圏の下の方（地表面近く）では、雨滴の速さは終端速度（重力と空気抵抗が釣り合った状態）になって、上の（１）式で dv/dt = 0 となる
　　mg - kv = 0
より、
　　v = mg / k
になります。