確率論についてです

2つの事象AとBが存在し、Pr()は()内の事情が起こる確率である。
このとき Pr(A∩B)≤Pr(A)≤Pr(A∪B)≤Pr(A)＋Pr(B) であることを示しなさい。

証明問題なのですが、分かる方おられましたら回答お願いします。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/05/31 11:59

「証明」は難しいが、下記の「ベン図」で説明すれば一目瞭然。

「面積」が「確率」に対応します。

集合の包含関係でいえば、
　　「A∩B」 は A に包含されるので、Pr(A∩B)≤Pr(A)
　　A は 「A∪B」 に包含されるので、Pr(A)≤Pr(A∪B)
あとは、図より
　　Pr(A∪B) = Pr(A) ＋ Pr(B) - Pr(A∩B)
なので、Pr(A∪B) ≤ Pr(A) ＋ Pr(B)

No.1 回答者： DAXINGXING 回答日時： 2016/05/31 06:17

事象A,Bをそれぞれ円の形で表すときA,Bの一部が重なっておれば、集合の記号で

(A∩B)⊂A⊂(A∪B)⊂(A+B)は絵から明か。A+Bは円が重なってない状態を示す。
集合の各面積は確率に比例するから上の式が成り立つ。
他に数式で証明する方法もあるが結構分かりにくい。例えばP(A∪B)＝P(A)+P(B)-P(A∩B)の公式の
証明など。