数学のベクトルの問題です。 四角形ABCDに対して、次の問いに答えよ。 (1)点PをAP↑+BP↑

数学のベクトルの問題です。

四角形ABCDに対して、次の問いに答えよ。
(1)点PをAP↑+BP↑+CP↑+DP↑=0となる点とする。AP↑をAB↑、AC↑、AD↑を用いて表せ。
(2)線分ACと線分BDが交わり、その交点が(1)の点Pと一致するとき、四角形ABCDの形状を理由をつけて述べよ。

(1)はわかったのですが、(2)が全くわかりません。詳しく解説していただけるとありがたいです。(別解の解説をお願いします。)

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/06/15 20:20

別解の解説ですか？

Ｐは、AC、BD上にあるから
　CP↑ = aPA↑　(a ≧ 0)　　　(B)
　DP↑ = bPB↑　(b ≧ 0)　　　(C)
と表わせます。これを
　AP↑+BP↑+CP↑+DP↑=0　　①
に代入すれば
　AP↑+BP↑+aPA↑+bPB↑=0
PA↑= -AP↑, PB↑= -BP↑ であるから
　(1 - a)AP↑+ (1 - b)BP↑= 0　　　(A)

ここまでは多分よろしいのでしょうね。
ここで、
　AP↑≠ 0 （ゼロベクトルではない、|AP|≠ 0)
　BP↑≠ 0 （ゼロベクトルではない、|BP|≠ 0)
であるのはよいですね？
また、AP↑とBP↑とは平行ではないので、(A)の =0 が成立するには
　a=1 かつ b=1
しかないということです。

ここがよく理解できないところでしょうか。
もしb ≠ 1 であっても(A)が成立するとすれば、
　　BP↑= -[ (1 - a)/(1 - b) ] AP↑
と書けて、AP↑とBP↑は同じ線分上にあることになってしまいます。つまりPはAB上（またはその延長上）にあることになり、ABCDが四角形であることと矛盾します。
同様に、a ≠ 1 であっても(A)が成立するとすれば、
　　AP↑= -[ (1 - b)/(1 - a) ] BP↑
と書けて、やはりAP↑とBP↑は同じ線分上にあることになってしまいます。これもPはAB上（またはその延長上）にあることになり、ABCDが四角形であることと矛盾します。
ということで、AP↑とBP↑とが平行ではないならば、(A) が成立するには
　a=1 かつ b=1
である必要があるいうことです。

これさえ理解できれば、(B)(C)より
　　CP↑ = PA↑
　　DP↑ = PB↑
なので、Pは「ACの中点、かつBDの中点」ということになります。