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X+y=√5 ,xy=1のときの次の式の値を求めよ。

1) x2+y2

2) 1/x + 1/y

3)x3 +y3

お時間ございましたら
解き方教えて下さい(_ _)

「X+y=√5 ,xy=1のときの次の式の」の質問画像

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A 回答 (3件)

1) x^2+y^2


=x^2+2xy+y^2-2xy
=(x+y)^2-2xy
=(√5)^2-2×1
=5-2=3

2) 1/x + 1/y
=y/xy+x/xy=y+x=√5

3)x^3+y^3
=(x+y)(x^2–xy+y^2) ← この変形は公式?をそのまま使う
2つ目の()内は1)の値を使う
=√5(3-1)=2√5
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この回答へのお礼

HAPPY

むらさめさん(^^)
ご回答ありがとうございます、
感謝です

もし宜しければ
今後ともよろしくお願いいたします
m(_ _)m

お礼日時:2016/06/21 12:01

解けないです。

どんな大数学者でも
X+y=√5
Xは、どこにも出てこない。X = 2x とかの条件ないと。
 数学は、あいまいな自然言語を厳格な数式という言語に翻訳してから始まる。

まあ、次回からは注意するとして
x + y = √5、xy = 1 が与えられているので、
それぞれの式をこの二つだけが含まれるようにすればよい。
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄*
1) x² + y²  どこかで見たような??(x + y)² = x² + 2xy + y² だったな??
 x² + 2xy + y² - 2xy = (x + y)² - 2xy
    ̄ ̄余計  ̄ ̄ ̄引けばよい

2) 1/x + 1/y とりあえず、xyをかけてみよう
 (1/x + 1/y)xy = xy/x + xy/y = y + x  よって
 1/x + 1/y
 = (1/x + 1/y)xy × 1/xy
 = (x + y)/xy

3) x³ + y³ どこかで見たな??でも、とりあえず割ってみよう。(公式使わない)
 小学校の割り算を使って
     _________
(x + y) ) x³   +   y³


     __x²_______
(x + y) ) x³   +   y³
    _x³_+xy______
       -xy + y³


     __x²_-xy_____
(x + y) ) x³   +   y³
    _x³_+x²y______
       -x²y + y³
     __-x²y -xy²____
          xy² + y³


     __x²_-xy_+y²____
(x + y) ) x³   +   y³
    _x³_+x²y______
       -x²y + y³
     __-x²y -xy²____
          xy² + y³
       ___xy² + y³__
             0   割り切れた

よって、x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)
 あとは(1) ど同様に x² - xy + y² を(x + y)とxyで表せばよい

★いちいち公式・解き方を覚えるのではなく
それぞれの式をこの二つだけが含まれるようにすればよい。
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄*
と道筋を立てることが重要。あとは、これまで学んだ知識で解ける問題なのだからね。
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この回答へのお礼

ご説明ありがとうございますm(_ _)m
大文字のXを記入してしまいスミマセンでした。こちらのミスですm(_ _)m

また次回質問させていただく際は、気をつけますm(_ _)m

お礼日時:2016/06/21 09:34

X+y=√5 ,xy=1のときの次の式の値を求めよ。



1) x2+y2=(x+y)^2-2xy と置き換えます。 (x+y)^2=x^2+2xy+y^2  からの変形です。+2xyを移項。

 よって x^2+y^2=(√5)^2-2✕(1)=5-2=3  となります。


2) 1/x + 1/y  分数の計算ですから通分しましょう、1/x=y/xy   1/y=x/xy として

 1/x + 1/y=y/xy+x/xy=(x+y)/xy  よって √5/1=√5


3)x^3 +y^3 =(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)(x^2+y^2-xy) と並べ替えて代入すると
 
  √5(3-1)=2√5    ※1)より x^2+y^2=3 

参考までに。
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この回答へのお礼

助かりました

北のトラさん ありがとうございます(^^)☆☆☆
勉強頑張ります

お礼日時:2016/06/21 12:01

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={x^3-3(x^2)y+3x(y^2)-y^3}+(x^2)y-x(y^2)
=(x-y)^3+xy(x-y)
=(x-y){(x-y)^2+xy}……(1)
となり、x-yが必要になります。

そこで、
(x+y)^2=x^2+2xy+y^2
(x+y)^2-4xy=x^2-2xy+y^2
ここで、x+y=3、xy=1より
9-4=(x-y)^2
(x-y)^2=5
よって、
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>この解き方の流れを見ても理解できません。

どの部分がわからなかったのでしょうか。
解答にある方法は「t=x+1/xと置く」というものです。よくつかわれているものです。t=3ですがあとで使います。

t^2=x^2+2+1/x^2=(x^2+1/x^2)+2
t^3=x^3+3x+3/x+1/x^3=(x^3+1/x^3)+3(x+1/x)
t^4=((x^2+1/x^2)+2)^2=((x^4+1/x^4)+2)+4(x^2+1/x^2)+4
  =(x^4+1/x^4)+4(x^2+1/x^2)+6

次数がどんどん大きくなりますがどの次数でも(x^n+1/x^n)の形の式の組み合わせしか出てきません。
逆にこれを解くと
f1=x+1/x=t
f2=x^2+1/x^2=t^2-2
f3=x^3+1/x^3=t^3-3t
f4=x^4+1/x^4=t^4-4t^2+2

になりますからtの値が分かっているとf1、f2、f3、f4、の組み合わせになっている式の値が求められるということが分かります。

f=a+bf1+cf2+df3+gf4
に対して教科書では「対称式」という言葉が使われています。
x^n の前の係数と1/x^n の前の係数が同じになっている式です。

問題ではt=x+1/x=3となっています。
t=3を代入して計算するのはx=(3±√5)/2 を代入して計算するのに比べると格段に楽です。

こういう流れの中で出てきた問題です。
x^2+1/x^2 だけを見て変形を思いついたというのであれば「どうしてそういう変形を考えるのか?」と不思議に思うかもしれません。
3次の対称式が出てきた場合であればお手上げになる可能性があります。

「対称式ではt=x+1/xと置いて変形する」という公式があると思っておいた方がいいようです。

>この解き方の流れを見ても理解できません。

どの部分がわからなかったのでしょうか。
解答にある方法は「t=x+1/xと置く」というものです。よくつかわれているものです。t=3ですがあとで使います。

t^2=x^2+2+1/x^2=(x^2+1/x^2)+2
t^3=x^3+3x+3/x+1/x^3=(x^3+1/x^3)+3(x+1/x)
t^4=((x^2+1/x^2)+2)^2=((x^4+1/x^4)+2)+4(x^2+1/x^2)+4
  =(x^4+1/x^4)+4(x^2+1/x^2)+6

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