至急 体積

半径aの球に内接する円柱の体積の最大値を求めてください

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/06/22 15:55

半径aの円に内接する長方形(底辺2rと高さh)の面積の最大値を求めるには、hをrの関数で書き換え微分を取り、、、なので、同じように考えると、、、

ピタゴラスの定理により
（2ｒ）²+ｈ²＝（２a）²
だから、
ｈ=2√（a²-ｒ²） (r<a)
だから、円柱の体積　πｒ²ｈ＝2πｒ²√（a²-ｒ²）
・・・
でできるんじゃないかな？

No.2 回答者： mapascal 回答日時： 2016/06/22 17:11

思いつき・・

中心線から半径ａに内接する正方形を回転させた円柱・・・違うかも。

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/06/23 01:14

そこから V = πr^2 h に対して

V^2 = 2π^2・r^2・r^2・(2a^2-2r^2)
って書き換えると微分しなくていいんですよね＞#1 って変態ちっくな方向性を見せてみるこころみ.

No.4 ベストアンサー 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/06/23 09:51

変態チックなおいらにがそのまま突き進むと、、、

（V²の微分のほうが計算が楽っていうことならわかるんだけど）

V(r) = 2πｒ²√（a²-ｒ²）
であるとして、
V'＝4πｒ√（a²-ｒ²）+πr²(-2r)/√（a²-ｒ²）
=（4πr（a²-ｒ²）-2πr³）/√（a²-ｒ²）
⇒2πr（2a²-2r²-r²）＝０　 (０＜r＜a)
2a²-3r²＝0
r=√（2/3）・a

Vはr→0でもr→aでもゼロに近づくから、この点を上限と考え、この値を最初の式にぶち込むと、、、

V＝(4πa²/3）√（a²/3）
=4（√3）πa³

計算間違いあったら、ごめんね、
オイラ、パソコン上で計算するの苦手、、、

No.5 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2016/06/23 11:22

4（√3）は4/3（球自体）より体積大きいし。

どこだ？　最後の計算か。

(4/（3√3）)πa³

かな。

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/06/23 22:47

円柱の半径を r,　円柱の高さの半分を h とすると

r^2+h^2=a^2
体積 V(r, h)=2πr^2・h

ラグランジュの未定乗数法で解くと

h(r, h, λ)= 2πr^2・h + λ(r^2+h^2-a^2)

① ∂h/∂r = 4πrh + 2λr = 0
② ∂h/∂h = 2πr^2 + 2λh = 0

① から λ = -2πh
② から λ = -πr^2/h

λを消去すると r^2 = 2h^2

これをr^2+h^2=a^2 に代入すると 3h^3 = a^2
従って h = √(1/3)a, r = √(2/3)a

V=2πr^2・h=2π(2/3)a^2・√(1/3)a=2π(2/3)√(1/3)a^3
=(4/9)√(3)π

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/06/24 22:52

>=(4/9)√(3)π

a^3が抜けてる(^-^;

=(4/9)√(3)πa^3