数学

斜辺の長さが10cmの直角三角形の面積が20㎠であった。このとき、他の2辺のうち短い方の1辺の長さは？

お願いします。

No.7 回答者： naochan1155 回答日時： 2016/07/01 22:11

斜辺以外の2辺の長さをそれぞれa.bcmとおくと、a^2+b^2=100・・・①

また、三角形の面積が20㎠より1/2ab=20、ab=40・・・②
①と②からa,bを求める際に、a+bとabに注目する。a,bはt^2-(a+b)t+ab=0の2解であることを使ってa,bを求める。
①よりa^2+b^2=(a+b)^2-2ab=100・・・①’、②を①’に代入して、(a+b)^2=180からa+b=√180＝3√20=3x√4x5=6√5・・・③
②と③からa,bは和＝6√5、積＝40となる2次方程式
t^2-6√5t+40=0・・・④の2解であるので、t=1/2x(6√5+-√{(6√5)^2-4x1x40}
=1/2x(6√5+-2√5)=4√5(+の方）または(1/2)x(6√5-2√)=2√5
従って、2辺の長さはそれぞれ4√５、2√5ｃｍであるから、短い方の長さは2√5ｃｍ

No.6 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2016/07/01 18:45

図を忘れた

＞面積が20cm²
＞斜辺の長さが10cmの直角三角形
なので、二つの三角形を斜辺で接して並べると添付の関係になる。
直角三角形の直角の頂点から対辺に垂線を下すと、底辺10cm、高さ4cmの長方形が見えてくる。
　よって、
三角形の面積は
x√{10² - x²}/2 = 20
すなわち
x²(100 - x²) = 40²
x⁴ -100x + 1600 = 0
(x² - 20)(x² - 80) = 0
x² = 20, x² = 80
x = ±2√5　x = ±4√5
xは正なので
x = 2√5　または、x = 4√5
小さいほうなので
x = 2√5

No.5 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2016/07/01 18:43

＞面積が20cm²

＞斜辺の長さが10cmの直角三角形
なので、二つの三角形を斜辺で接して並べると添付の関係になる。
直角三角形の直角の頂点から対辺に垂線を下すと、底辺10cm、高さ4cmの長方形が見えてくる。
　よって、
三角形の面積は
x√{10² - x²}/2 = 20
すなわち
x²(100 - x²) = 40²
x⁴ -100x + 1600 = 0
(x² - 20)(x² - 80) = 0
x² = 20, x² = 80
x = ±2√5　x = ±4√5
xは正なので
x = 2√5　または、x = 4√5
小さいほうなので
x = 2√5

No.4 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/07/01 18:40

長さの単位である cm は省略.

他の2辺の長さを x, y, ただし 0 < x < y, とすると,
x^2 + y^2 = 100, xy = 40 であるから,
(x + y)^2 = 100 + 80 = 180 より, x + y = 6√5
(x - y)^2 = 100 - 80 = 20 より, x - y = -2√5
辺々加えて 2x = 4√5 なので, x = 2√5

x の4次方程式にする方法もあるけど, 美しくない.
しかし, 強引に数式処理で答えを求めようという発想が, そもそも美しくないのだが...

No.3 回答者： 銀鱗 回答日時： 2016/07/01 17:41

2√5

のほうが分かりやすいでしょう。

No.2 回答者： ワク 回答日時： 2016/07/01 17:14

ルートを書き込み出来るのをしらなかった。

√20

No.1 回答者： ワク 回答日時： 2016/07/01 17:10

4.47213595499958cm