高校数学 漸化式と数列

高校数学Bの問題です。
授業で当たっているのですが、分からなくて困っています。
詳しい解答を、是非宜しくお願いします！

最終的な答えは
(1)a(n+1)=an+2bn,b(n+1)=an+bn
(2)(p , q)=(√2 , 1+√2),(-√2 , 1-√2)
(3)an=(1/2){(1+√2)^n+(1-√2)^n},
bn=(√2/4){(1+√2)^n-(1-√2)^n}
です！

No.1 ベストアンサー 回答者： tosa0824 回答日時： 2016/07/11 21:00

(1) (1+√2)^n = a_n+ b_n√2 …①　より、

(1+√2)^(n+1) = a_(n+1) + b_(n+1)√2
⇔ (1+√2)(1+√2)^n = a_(n+1) + b_(n+1)√2
⇔ {a_n+2b_n-a_(n+1)} +√2{a_n+b_n-b_(n+1)} = 0 …②　（√2の項とそれ以外で整理）
a_n, b_nが②を満たすためには、a_n,b_nが自然数であるので√2の項が0でなければならず、
それ以外の項も0でなければならない。よって、
a_n+2b_n-a_(n+1)=0 …③
a_n+b_n-b_(n+1)=0 …④
③、④より、
a_(n+1)=a_n+2b_n …⑤
b_(n+1)=a_n+b_n …⑥

(2) 問題の式a_(n+1)+pb_(n+1) = q(a_n + pb_n)…⑦の左辺に⑤、⑥を代入しa_n, b_nで整理すると、
(1+p-q)a_n + (2+p-pq)b_n = 0 …⑧
⑧を満たすためには
1+p-q = 0 …⑨
2+p-pq = 0 …⑩
⑨、⑩をpについて解くと、p^2 - 2 = 0。よって、p=±√2。よって、q=1±√2（順同一）。

(3) p=√2, q=1+√2 の場合、⑦は
a_(n+1)+√2{b_(n+1)} = (1+√2)(a_n + √2 b_n) …⑪
①はn=1のとき、a_1 = 1, b_1 = 1より、⑪は、
a_n + √2 b_n = (1+√2)^n …⑫

p=-√2, q=1-√2 の場合、⑦は
a_(n+1)-√2{b_(n+1)} = (1-√2)(a_n - √2 b_n) …⑬
⑫と同様に⑬は、
a_n - √2 b_n = (1-√2)^n …⑭

⑫＋⑭より 2a_n = (1+√2)^n + (1-√2)^n。よって、
a_n = (1/2){(1+√2)^n + (1-√2)^n}

⑫-⑭より 2√2 b_n = (1+√2)^n - (1-√2)^n。よって、
b_n = (1/2√2){(1+√2)^n - (1-√2)^n}。分母を有理化して、
b_n = (√2/4){(1+√2)^n - (1-√2)^n}

いい問題ですね。

No.2 回答者： GBde 回答日時： 2016/07/12 10:20

M={{1, 2}, {1, 1}} の　固有値,　固有vectorを求め；

{1 + Sqrt[2], 1 - Sqrt[2]}, {{Sqrt[2], 1}, {-Sqrt[2], 1}}

KARA

　M^n={{1/2 ((1 - Sqrt[2])^n + (1 + Sqrt[2])^n), (-(1 - Sqrt[2])^
n + (1 + Sqrt[2])^n)/Sqrt[
2]}, {(-(1 - Sqrt[2])^n + (1 + Sqrt[2])^n)/(2 Sqrt[2]),
1/2 ((1 - Sqrt[2])^n + (1 + Sqrt[2])^n)}}

M^n.{1,1}={1/2 ((1 - Sqrt[2])^(1 + n) + (1 + Sqrt[2])^(1 + n)),
1/4 (-(1 - Sqrt[2])^n (-2 + Sqrt[2]) + (1 + Sqrt[2])^
n (2 + Sqrt[2]))}


------------------------------------
　　　　　少し具現すると;M^n.{1,1}は
{{1, 1}, {3, 2}, {7, 5}, {17, 12}, {41, 29}, {99, 70}, {239,
169}, {577, 408}, {1393, 985}, {3363, 2378}}