当選確率は同じなのでしょうか？

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質問者：kinseiseki
質問日時：2016/07/27 00:55
回答数：2件

数学的な記述ができなくてだらだらした問題文になってしまいますが、
確率の問題（だと思います）です。
なんとなく以下のようなくじ引きに不信感があります。どうかわかる方、教えてください。
初級の組み合わせとか順列とかくらいならなんとか理解できるかと思います。
よろしくお願いします。

（本文）
当選するとプレゼントをもらえるくじ引き会があると仮定します。
くじ引きは、7本の内の1本が当選となるあみだくじです（もちろん公正なあみだくじとします）。
このあみだくじは第1回くじ引き会から1ヶ月ごとに12ヶ月間、計12回開催されます。

参加資格がある人は12人とします。
くじ引き会は12回全部参加しなくてもよくて、第3回と第4回と第10回だけ参加しても
かまいません。全部参加してもOKです。
というのも、このくじ引きは、毎回当選商品が異なり、ある時は現金10万円、ある時は高級炊飯器というように、どうしても当てたい時と、まあ当たったら少しうれしいというような当選商品の構成をしています。
当然高額な商品の場合は希望者が殺到するはずなのですが、ここではなぜか
毎回12人のうち、7人しか希望しないと仮定します。
また、このくじ引き会は主催者の気まぐれで、夜中の3時ごろに突然開催するというメールが来たりして、全部に参加するのがむずかしい。本来なら全部のくじ引き会に参加すれば、より多くのチャンス（当選確率が上がる）があるはずですが、全部に参加できない人もいます。しかしなぜか必ず参加人数は7人集まるというくじ引き会とします。

毎回（全12回）7人が必ず参加するとします。7人の構成は、上記のように自分の気に入った当選商品を希望し、かつ突然のメールでたたき起こされて布団からはい出して会場へつめかけることができた7人ですので、全回同じ人とは限りません。12人のうちの7人です。例えば、添付の表のように毎回7人が参加しますが、同じメンバーとは限りません。今は仮にA氏からＬ氏まで12人が参加資格があり、そのうちの7人が参加するということにします。

なお、毎回のくじ引きの商品は異なりますが、当たったか当たらないかのどちらかでしか考えないということです。集まった7人それぞれの当選確率が同じなら、7人それぞれの期待値は同じということにします。

さて、問題は、
1)　全12回のくじ引きを終えた時、A氏（参加回数：5回）とＬ氏（参加回数：12回）では当選確率はどちらが高いでしょうか。ようは、参加資格のある12人の当選確率に差はあるのかどうかということです。単純に参加する回数が多い方が当たる回数も多くなると言ってよいかどうか。

2)　全12回のくじ引きを終えた時、A氏とE氏とF氏とI氏（ともに参加回数5回だが、参加する回が異なる）の当選確率は4人とも同じと言ってよいでしょうか。

3)　ここから別問題です。添付した表も無視してください。
　　全12回のくじ引きが始まる前に、A氏は今年は5回しか参加しないと決めました。
　　A氏が上記1)2)のときよりも、当選確率が上がる条件はあるでしょうか。
　　例えば、8回参加する予定のG氏とは別の回に参加して、かつ3回しか参加しないB氏と
　　同じ回に参加すると当選確率が上がる！、という状況はあるものでしょうか。いやいや、
　　どこの回に何回参加しても当選確率は同じだ！、どうなのでしょうか？

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回答 (2件)

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No.2

回答者： yhr2
回答日時：2016/07/27 10:32

まったく任意、ランダムということであれば、毎回参加者1人あたりの当選確率は 1/7 です。

各人でみれば、抽選に参加すれば当選確率は 1/7 、参加しなければ 0 です。
各人の期待値（当選する回数の期待値）は、参加回数を N 回とすれば N/7。

1)　全12回のくじ引きを終えた時、A氏（参加回数：5回）とＬ氏（参加回数：12回）では当選確率はどちらが高いでしょうか。

　毎回の当選確率は同じだが、年間合計での賞品をゲットする期待値は（当選する回数の期待値）
　　A氏：5/7
　　L氏：12/7　←　つまり、１回以上当選すると期待される

2)　全12回のくじ引きを終えた時、A氏とE氏とF氏とI氏（ともに参加回数5回だが、参加する回が異なる）の当選確率は4人とも同じと言ってよいでしょうか。

　はい。同じです。実際の当選回数には差があると思いますが、それは「バラツキ」「統計的な分布」ということで、単なる「偶然の産物」です。

3)　全12回のくじ引きが始まる前に、A氏は今年は5回しか参加しないと決めました。
　　A氏が上記1)2)のときよりも、当選確率が上がる条件はあるでしょうか。

　ありません。確率は同じです。

　ただし、たとえば「全員年間５回しか出られないので、欲しい賞品のときだけ参加するようにする」ということなら、「欲しくもない賞品が当たる」ケースが減って、同じ当選の期待値「5/7回」でも「欲しい商品がゲットできる」可能性が高くなるのでしょうね。
　「欲しいものの当選回数／応募回数」という見方をすれば、
　　　全ての当選回数 = 欲しいものの当選回数 + 欲しくもないものの当選回数
ですから、賞品を考えずに何でもかんでも応募するのに比べ、「欲しい賞品のときだけ参加」すれば「欲しいものの当選回数／応募回数」は大きくなるでしょう。それは「当選確率が増える」のではなく、「当選したときの商品が欲しいものである確率が増える」ということです。それは「抽選」の確率の問題ではなく、応募する方の「応募のしかた」の問題です。