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mathematicaを用いて振り子の支点が移動（ひもの長さが変化）するときの挙動を導出したい

締切済

質問者：まっくん
質問日時：2016/09/02 14:32
回答数：2件

mathematicaを用いて振り子の挙動を検討しています。
点Aから離れるときは点Oを支点とした振り子運動になり、
点Aから離れるまでは点Aを支点とした振り子運動をするときの挙動を知りたいです。（下図参照）

初速はなく、そっと手を離した際の挙動についてはご丁寧に回答してくださった方がいました。
ありがとうございました。

現在は最下点から初速v0を与えたときの挙動を検討したいと考えています。
参考書等で調べているのですがなかなか解決しません。

ご教授お願い致します。

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回答 (2件)

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No.2

回答者： yhr2
回答日時：2016/09/03 14:00

No.1 です。

＞確かにおっしゃる通りなのですが。。。

ん？　普通にやってみればよいだけでしょう？　
通常の「単振動」を2つ組合せ、鉛直部分での「周速度」（図の v0 ）が一致する条件でつなげばよいのですよね？

振り子の運動方程式は、慣性モーメントを I 、角速度を ω として
　　N = I*dω/dt
です。N は重りの円周方向に働くモーメント、つまりトルクです。

糸の質量を無視すれば、重りの慣性モーメントが I=mr^2 なので
（１）O を中心とした振り子の長さ R1
（２）A を中心とした振り子の長さ R2
とすれば

（１）O を中心とした振り子の運動方程式
　　N1 = m(R1)^2*dω1/dt
ここで、鉛直方向からの振り子の角度をθ1(図の右側を正）とすると
　　ω1=dθ1/dt
　　N1 = -mgR1*sinθ1
つまり、運動方程式は
　　-g*sinθ1 = R1*(d^2θ1/dt^2)

通常は θ1 は微小であるとして、sinθ1 ≒ θ1 と近似して
　　-g*θ1 = R1*(d^2θ1/dt^2)　　①
で角度 θ1 の時間変化の近似解を求めます。

　　θ1(t) = A*sin(k1*t) + B*cos(k1*t)
とおけば①の運動方程式を満たし、
　　k1 = √(g/R1)
となります。

また、重りの周速度は
　　v(t) = R1*dθ1/dt
　　　　= R1 * k1 * [ A*cos(k1*t) - B*sin(k1*t) ]　　　②
となります。

　ここで、t=0 のとき θ1 = θ0、周速度 v(0)=0 （静かに手を放した）とすると

　　θ1(0) = B = θ0
　　v(0) = R1 * k1 * A = 0

より A=0, B=θ0 と決まります。従って
　　θ1(t) = θ0 * cos(k1*t)　　　　③
　　v(t) = -θ0√(g*R1)sin(k1*t)　　④

最下点での周速度は
　　θ1(t) = 0
となる t を求めると
　　k1 * t = パイ/2　　　　　(A)
より
　　v(t) = -θ0√(g*R1)　　　　⑤

（２）同様に、A を中心とした振り子の運動方程式は
　　N2 = m(R2)^2*dω2/dt
より、鉛直方向からの振り子の角度をθ2(図の左側を正）とすると
　　ω2=dθ2/dt
　　N2 = -mgR2*sinθ2
として
　　-g*sinθ2 = R2*(d^2θ2/dt^2)

近似式は、sinθ2 ≒ θ2 として
　　-g*θ2 = R2*(d^2θ2/dt^2)
より、
　　k2 = √(g/R2)
として

　　θ2(t) = C*sin(k2*t) + D*cos(k2*t)　　　　⑥
　　v(t) = R2*dθ2/dt
　　　　= R2 * k2 * [ C*cos(k2*t) - D*sin(k2*t) ]　　　⑦

となります。ここで、こちらでは最下端のときを t=0 とし、そのときの周速度を⑤とすると
　　θ2(0) = D = 0
　　v(0) = √(g*R2) * C = θ0√(g*R1)
より
　　C = θ0√(R1/R2)
　　D = 0

よって
　　θ2(t) = θ0√(R1/R2) * sin(k2*t)　　　　⑧
　　v(t) = θ0√(g*R1) * cos(k2*t)　　　　　⑨

この t は、（１）とは上の(A)だけ時間がずれているので、同じ時間で表わすと

　　θ2(t) = θ0√(R1/R2) * sin[k2*(t - パイ/2k1 )]　　　　⑧'
　　v(t) = θ0√(g*R1) * cos[k2*(t - パイ/2k1 )]　　　　　⑨'

かな。

　図の v0 は、⑨で k2*t=パイのときで、正負の方向を考慮して
　　v0 = -v(パイ/k2) = θ0√(g*R1)
ということになります。