氷では、
正四面体の中心に酸素があるとして4つの頂点には
水素があります。

現実の氷ではなく、純粋な数学的に幾何学的に
その酸素と水素の間の角度は、何度になるのでしょうか?
109.47度
小数点以下4けた程、正確な値を教えて頂きたい。

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A 回答 (4件)

inorganicchemistさんの答と一致しました。


正四面体の頂点A,B,C,Dの直交座標系(x,y,z)における座標は、重心を原点O、頂点Aをz軸上、頂点Bをy-z平面上に置く事にし、重心から各頂点までの距離を1とすると
A: (0,0,1)
B: (0,(2√2)/3, -1/3)
C: ((√6)/3,-(√2)/3, -1/3)
D: (-(√6)/3,-(√2)/3, -1/3)
となります。簡単な計算で、どの頂点も原点から1の距離にあり、どの二つの頂点同士の距離も√3であることが確認できます。
 さて、2つの頂点(たとえばAとB)の内積を取れば、α=∠AOB とするとき cosα=A・B = -1/3
従って求める角度はα=Arccos(-1/3)です。
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この回答へのお礼

有り難うございます。
頂点CD間の距離は、2√6/3であり仰られるような√3ではありませんが
どうなのでしょうか。

お礼日時:2001/06/25 16:04

あれま。

stomachman、いつもの事ながら計算チョンボです。
 ご指摘の通り、No.2において、2点間の距離は全て (2√6)/3ですね。それ以外の間違いはないと思います。
 重心が原点(0,0,0)にあることは4つのベクトルの和がA+B+C+D=0であることから確かめられますね。

 間違えといて何ですけど、物を尋ねる以上は残りの組み合わせについてもチェックしてみてくださいな。
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>この場合酸素は、四面体のどの部分に位置するのでしょうか。



酸素と四つの水素の座標を

O(0,0,0)
H1(1,1,1)
H2(1,-1,-1)
H3(-1,1,-1)
H4(-1,-1,1)

と置きます。

>四面体の重心は、三角形の時と同じ考え方で宜しいのでしょうか。

数学は得意でないので、立体の重心について
は自信がありませんが、三角形の時と同じ考え方でよいと思います。

>また理化学辞典第4版383ページには、正四面体角は
>109.28度となっていましたが、この理由については
>御存じでしょうか。

・・・なってますねぇ。おそらく計算途中でルート3を
1.73にして、などの影響だと思いますが・・・


純粋に数学的に処理するのであれば、あくまで
「cosα=-(1/3)を満たす角度」が答えです。

実際に構造解析などで得られた情報を比較するのであれば
「109度ぐらい」で十分です。

この回答への補足

有り難うございました。
正四面体の重心について、根拠が無いのに同じ考え方で良いというのは
説得力がありません。
109.28度については理化学辞典第5版でもその値になっております。
理化学辞典ともあろうものが有効桁数を考慮していないはずが
ありません。よってこれも説明に無理があります。

補足日時:2001/06/27 20:11
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cosα=-(1/3)を満たす角度です。


109.4712206....

立方体の頂点の一つおきに原子をおいて、
四面体を作り、体対角線の長さと余弦定理を使って
誘導できます。

この回答への補足

有り難うございます。
無機化学の専門家の方でございますか。
この場合酸素は、四面体のどの部分に位置するのでしょうか。
四面体の重心は、三角形の時と同じ考え方で宜しいのでしょうか。
また理化学辞典第4版383ページには、正四面体角は
109.28度となっていましたが、この理由については
御存じでしょうか。

補足日時:2001/06/25 16:12
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Aベストアンサー

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でしょうか。

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テスト問題としての解答として、
「修正および補足」などをお願いします。


A.
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1→α_1∈X
2→α_2∈X
・・・・・・・・・
n→α_n∈X
・・・・・・・・・

実数βの小数点第i位を以下のように定める
α_iの小数点第i位が2,4のとき
βの小数点第i位は3
α_iの小数点第i位が3のとき
βの小数点第i位は2

よって実数βは、β∈Xであるが、α_1,・・・,α_n,・・・のいずれとも異なる。
したがって、仮定は矛盾しているので、|X|≠アレフゼロとなる。

また、|P|<アレフゼロならば、Pは有限集合となり矛盾。
以上により、|P|>アレフゼロとなる。

Aベストアンサー

こっちは、大体okですね。

「いずれとも異なる」から「したがって」の部分が少し不親切に感じるけどギリギリセーフかな。


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最後のとこで、|P|って書いてあるの|X|だよね。

|x|<アレフゼロならば、Xは有限集合となり矛盾。 の部分は減点ですかね。
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むしろ、
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