「空間において,異なる2定点A,Bがあるとき,P=Aまたは∠BAP=90°である点P全体は平面をなす

「空間において,異なる2定点A,Bがあるとき,P=Aまたは∠BAP=90°である点P全体は平面をなす」
上の事実を用いて空間においてn→を0→でない定ベクトルとするとき,ベクトル方程式

n→・x→＋d=0(dは定数)は平面を表すことを証明せよ。


……という問題なんですが、さっぱり分かりません。教えてください。
ちなみに、「n→」は「ベクトルn」という意味です。分かりづらくてすみません。

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2016/10/02 14:24

n→≠0　なので、x₀→＝－(ｄ/ｎ²)n→ (ｎはn→の大きさ)とおくと、n→・x₀→＋d=0

はわかりますね。
このx₀→を位置ベクトルとする点をＡ、Ａからn→を立ててその終点をＢ、ベクトル方程式の
x→を位置ベクトルとする点をＰとすれば、
n→・x→＋d=0　n→・x₀→＋d=0を辺々引いてn→・(x→－x₀→)＝0で、n→＝ＡＢベクトル
x→－x₀→＝ＡＰベクトルだから、ＡＰベクトルがＡＢベクトルに直角すなわち∠BAP=90°となるので
もとのベクトル方程式はある平面をあらわしています。

この回答へのお礼

ありがとうございました！
とても分かりやすかったです。

お礼日時：2016/10/07 07:54

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2016/10/04 06:28

原点をB、方程式を満たす x→=kn→ (kはスカラー) を A とすれば

P=kn→+c→ (c→は任意のn→に垂直なベクトル)は
n→・x→＋d=0 を満たします。

簡単ですよ。

No.2 回答者： tak04 回答日時： 2016/10/02 18:33

ベクトルBA・ベクトルAP=0

(→OA-→OB)・(→OP-→OA)=0
→OA-→OB=→n
(→OA-→OB)・→OA=ｄ
→OP=→x
とすれば
n→・x→＋d=0
ベクトルｘはベクトルAPに垂直な平面を表す。