単振動と慣性力

Question

助けてください。
物理の問題です。

なめらかな床の上に質量Mの台車があり、天井に質量ｍのおもりが長さLの糸でつるされています。
小球を鉛直線と微小な角Θをなす点で一旦静止させます。その後、静かに小球を離します。

この問題で小球の単振動の周期を求めよという問題です。

解説を見ると、求めるために小球の運動方程式を立てているのですが、
「ma=-mgsinΘ」となっています。
台車も加速度を持つと思ううのですが、慣性力は考慮しなくて良いのでしょうか？？

ご教授ください！

yhr2 · Accepted Answer

No.8です。少し補足します。

No.８では「座標系が変わる」という説明をしましたが、、これは言い方を変えると、
（１）では「台車」「おもり」各々の運動方程式を立てる。
（２）では「台車上の振り子」の運動方程式を立てる。
ということです。

（１）では、「台車」「おもり」各々について
　　MA = mg*sinθ　　　　①
　　ma = -mg*sinθ　　　　②
の運動方程式を立て、これから
　　MA + ma = 0　　　⑤
の関係を求めるということです。

そして、これを使って、（２）の「台車上の振り子」の運動方程式を立てたものが
　　ma = -mg*sinθ + ｍA　　　④
です。

④は、実は座標系を変換したことにより、②の a を「a - A」に置き換えているのです。つまり新しい座標系での振り子の運動方程式は
　　m(a - A) = -mg*sinθ 　　⑥
ということです。これが②と等価になります。ここで⑤の関係から
　　A = -(m/M)a
なので⑥に適用して
　　m[ a + (m/M)a ] = -mg*sinθ
つまり
　　ｍ[(M + m)/M]a = -mg*sinθ
より
　　　ｍa = -mg*sinθ*M/(M + m)　　 ⑦
となり、これが「台車上の振り子」の運動方程式です。

（この式からすると、No.8で「振り子の周期は、糸の長さが　L*M/(M + m)　の振り子の周期」といったのは間違いで、「糸の長さが　L*(M + m)/M　の振り子の周期」というのが正しそうです）

あとは、a=dv/dt=L*d^2θ/dt^2、θ<<1 のとき sinθ≒θ より、θ についての微分方程式を解いて「周期」を求めてください。

T = 2パイ * [ L*(M + m)/Mg ]^(1/2)

となるかな？

yhr2 · Answer

No.7です。「お礼」に書かれたことについて。

＞問題がaとAの関係式をきいているので、
＞ma=-mgsinθ+mA
＞を答えとしても問題ないのでしょうか？

いいえ。問題文にあるように「床上に原点にOをとり水平方向右向きにx軸をとる」なので、静止している床から見た運動方程式を立てないといけません。

お示しの「ma=-mgsinθ+mA」は「台車の上に座標の基準点（原点）を取ったもの」ですから、そもそも「x」が違うものを表します。ということは、速度も加速度「a」「A」も、同じ記号で書いても「違うもの」を指しています。

「ma=-mgsinθ+mA」の「a、A」と、「MA + ma = 0」の「a、A」とは違うものです。ここでは「床上に原点にOをとり水平方向右向きにx軸をとる」座標での「a、A」の関係を答えなければいけません。

従って、（１）の答は
　　MA + ma = 0
ということです。

この問題では、「台車上の座標系」で解くと、かなり厄介になりそうですよ。

これを（２）に展開するには、No.6に書いたように
＞「地上」から見れば
＞・おもりが左に行けば、台車は右に
＞・おもりが右に行けば、台車は左に
＞という風に動く
ということになるので、振り子は、O1を中心に振れるのではなく､「O1とおもりの間」を中心として振れることになります。振れる中心は「O1とおもりの間を m:M に分割する点」になります。
　つまり、振り子の周期は、糸の長さが
　　L*M/(M + m)
の振り子の周期ということになると思います。

その辺は、問題の解説に書かれているのではありませんか？

yhr2 · Answer

No.5です。「お礼」に書かれたことについて。

＞上式から、解答にある、
＞ma+MA=0
＞は、どのように導くのでしょうか？

「上式」とは
　　ma = -mg*sinθ + ｍA　　　④
のことですか？　④は「台車上の座標系」の運動方程式なので、これから「静止した地上の座標系」の運動方程式
　　MA + ma = 0　　　　⑤
は導けません。別な座標系の記述ですから。

⑤式は、単純に
　　MA = mg*sinθ　　　　①
　　ma = -mg*sinθ　　　　②
の「右辺」が等しい（符号は逆ですが）ことから求まります。

これが、No.6に書いた
＞「地上」から見れば
＞・おもりが左に行けば、台車は右に
＞・おもりが右に行けば、台車は左に
＞という風に動くということです。

yhr2 · Answer

No.5です。すみません、回答No.がごちゃごちゃして、文章を間違えました。

最後のところは、下記に訂正します。

この運動方程式④は、#4 さんへの「お礼」に書かれた　　　←#3 ではなく #4 が正しいです。

＞箱に観測者をおくと、小球についての運動方程式が、
＞ma=-mgsinθ+mA
＞とはならないのでしょうか？

と同じ内容です。質問者さんの考え方は正しいと思いますよ。

ちなみに、No.5で「運動量保存」と書いたのは、
・おもりの単振動は「台車 + おもり」の系の中の「内力」なので
・「台車」と「おもり」の重心は動かない
従って、「地上」から見れば
・おもりが左に行けば、台車は右に
・おもりが右に行けば、台車は左に
という風に動くということです。

これを「台車」の上の座標系から見ると、「台車は止まっている」ということなので、その分「右に左に」と振られている状態、つまり「加速したり減速したりする電車の中で振り子を振らせている（加速・減速の周期は、振り子の周期と同じで逆位相）」という感じです。

yhr2 · Answer

No.2&3です。補足でようやく全体が分かりました。

No.3に書いたように、「台車」がなくて「固定した天井」からつるされていれば、「糸の張力」は何もしません。天井が踏ん張って反力に耐えるからです。

これが、問題のように「天井は台車」であれば、台車はこの「張力」に対する反力によって運動します。
張力の「水平方向の成分」は
　Fx = -mg*sinθ
ですから、台車に働く力はその反力「mg*sinθ」であり、台車の運動方程式は、台車の質量（おもりの質量は除く）を M として
　　MA = mg*sinθ　　　　①
となります。

一方、振り子のおもりの運動方程式は、No.2のとおり
　　ma = -mg*sinθ　　　　②
です。

①②より
　　MA = -ma
　　MA + ma = 0
これは
　　MV + mv = const
ということで「運動量保存」ということです。

これを「台車の上の座標系」で見ると、台車が「加速度 A で動く」ので、振り子の運動方程式は②から
　　m(a - A) = -mg*sinθ
に変わります。
　左辺は「運動を表すもの」で、「台車の加速度」分だけ加速度が変わります。
　右辺の「おもりに働く力」は変わりません。

ただし、これを
　　ma = -mg*sinθ + ｍA　　　④
と書くと、右辺の「ｍA」が「おもりに働く見かけ上の力」（慣性力）ということになります。

この運動方程式④は、#3 さんへの「お礼」に書かれた

＞箱に観測者をおくと、小球についての運動方程式が、
＞ma=-mgsinθ+mA
＞とはならないのでしょうか？

と同じ内容です。質問者さんの考え方は正しいと思いますよ。

Zincer · Answer

なるほど！
箱型の台車とは考えませんでした。やっぱり図は大事ですね。
この解説の観測点は箱の外側であり、その時の関係式であることはわかっているんですね。

箱に観測点を固定した場合に、「つるされた小球に見かけ上かかる力の式を求めたい」ということでしょうか？
直観的には
「箱が外部から単振動の周期で揺らされる外力がかかている」ように感じる。
と、思いますが。まさにこれが箱の慣性力ですね。
その見かけ上の外力Fは
F=MA
です。
そして、その見かけ上の外力の源は、「Θだけ振れた小球がもとに戻ろうとする力」ですから
F=-ma
　＝ｍｇsinΘ
になりそうです。

あれっ！
やっぱり同じ結論になりそうですね。
なんか間違っている気がしてきたので、ほかの回答者の検証を待ちましょう。

yhr2 · Answer

No.2です。ちょっと書き忘れ。

No.２に書いた

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

＞求めるために小球の運動方程式を立てているのですが、
「ma=-mgsinΘ」となっています。

は、「天井から長さLの糸でつるしたおもり」の単振動の運動方程式です。
「重力の糸と直角方向成分」が「F=-mg*sinθ」ですから、これを単純に運動方程式
　F=ma
に入力しただけの話です。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

において、「重力の糸の長さ方向成分」は「糸が伸び縮み」しない限り何の運動もしないので、運動方程式を立てる必要はありません。単に「糸の張力と釣り合っている」というだけです。
強いて運動方程式を書けば、糸の張力を T として
　Fs = T - mg*cosθ = 0
で、Fs = ma より a=0 、つまり「加速度ゼロ」なので、「円周一定」ということになります。

yhr2 · Answer

#1さんと同じで、問題文の「台車」と「おもり」と「小球」の関係と、その位置関係、初期状態、運動の状態などがすべて不明です。
このような質問では、オリジナル通りの問題を書くのが常識です（必要なら図も）。「解き方・答が分からない」あなたは、実は「問題を正確に把握できていない」場合が多いからです。

おそらく

＞求めるために小球の運動方程式を立てているのですが、
「ma=-mgsinΘ」となっています。

は、「天井から長さLの糸でつるしたおもり」の単振動の運動方程式です。
「重力の糸と直角方向成分」が「F=-mg*sinθ」ですから、これを単純に運動方程式
　F=ma
に入力しただけの話です。

ここには「台車」は一切登場しません。

台車と「天井から長さLの糸でつるしたおもり」との関係が質問文に書かれていない限り、

＞台車も加速度を持つと思ううのですが、慣性力は考慮しなくて良いのでしょうか？？

には答えようがありません。

Zincer · Answer

私の理解力の欠如のせいなのか、
｢台車｣と｢小球｣の関係性が全く掴めません。
本題
質量のある物体に慣性力が働かないはずは無いのですが？
加速度を考える場合は加速度方向に働く力を考えた方が、わかりやすいと思いますが？

単振動と慣性力

No.8です。

No.7です。

No.5です。

No.5です。

No.2&3です。

なるほど！

No.2です。

#1さんと同じで、問題文の「台車」と「おもり」と「小球」の関係と、その位置関係、初期状態、運動の状態などがすべて不明です。

私の理解力の欠如のせいなのか、

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