複素数の解法

以下の解法をご教示ください。

複素数Zが
|z|-1=(-1+2i)z
を満足するとき

|z|=

を求めなさい。

また、zの偏角をθとするとき

cosθ＋isinθ　＝

を求めなさい。

よろしくお願いいたします。

No.3 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2017/02/09 17:45

両辺の絶対値をとって、

||z|-1|=√5|z|、より　|z|-1＝±√5|z|、|z|≧0なので、－のほうをとって
|z|＝1/(1＋√5)＝(√5－1)/4,

最初の式から、
(1－2i)z＝1-|z|、ｚ＝{(1-|z|)/5}(1+2i)　ですが、さっき求めた|z|から
(1-|z|)/5＞0なので、θは1+2iの偏角と同じ、したがって
cosθ＝1/√5、sinθ＝2/√5、
cosθ＋isinθ＝(1+2i)/√5＝√5(1+2i)/5

この回答へのお礼

丁寧なご教示ありがとうございました。

お礼日時：2017/02/09 18:32

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2017/02/09 13:30

基本に戻ればいいんです。

a,bを実数として
　　z=a+bi
と表してみると
　　(-1+2i)z=(-1+2i)(a+bi)
右辺を展開したものは実数をp,qとして
　　p+iq
と表せる。さて、これが
　　|z|-1 = p+iq
を満たすというのだけれど、左辺|z|-1は実数だ。なので、
　　q=0　　　…(1)
でなくてはならない。そして、
　　|z|-1 = p　　　…(2)
である。(1)と(2)の連立方程式からa,bが決まる。（実数の絶対値の処理に注意。）

　二つ目の方は、
　　cosθ+isinθ= e^(iθ)
であって
　　z = |z| e^(iθ)
なのだと分かってればサル級。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。

お礼日時：2017/02/09 18:32

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/02/09 13:28

|z|-1=(-1+2i)z

の左辺が実数であることは認識できていますか?

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2017/02/09 18:33