複素数平面の問題 この方法では解けないのか

zは絶対値が1の複素数とする。
(1)z+1/zは実数であることを示せ
(2)z+1/zの値の範囲を求めよ

僕の解答は
(1)z=a+bi(a,bは実数)とおくと
zの絶対値が1であることから
z=√(a^2+b^2) よってz^2=a^2+b^2

z+1/z=a+bi+1/(a+bi)
=a+bi+a-bi/(a^2+b^2)
=a+bi+a-bi
=2a
よってz+1/zは実数である.

(2)は式の形をみて、相加相乗平均を使おうと思ったのですが、複素数では大小関係は定義できないのですよね？
問題集の解答では(1)を極形式で示されていたため(2)もすんなり解けていました
僕の解答では(2)は解けませんか？

また問題を解く前に(1)だけをいきなり見るのではなく(2)も見た方が良いのでしょうか？

よろしくお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2017/02/19 18:37

問題は、ｚが|ｚ|＝1の円周上の点と気付けば

-1≦ａ≦1　はすぐわかりますね。
したがって、（1）で出した　z+1/z=2ａは　-2≦z+1/z≦2　と、すぐ出ます。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2017/02/19 23:18

No.3 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2017/02/19 19:46

z の絶対値が 1 なので

z=cosθ+i sinθ (0<=θ<2π)
と置くことができます。この時、
1/z=cosθ-i sinθ
ですから、
z+1/z=2cosθ
となり虚数成分がなくなりますから実数です。また、その範囲は
-2<=2cosθ<=2
となります。

No.2 回答者： cruelman 回答日時： 2017/02/19 18:49

この問題のポイントは、zと1/zは複素共役の関係にあって複素数平面上ではx軸について対称なベクトルだと気がつけるか否かにあるように思う。