2乗したら解けなくなった 複素数

z≠0,±1の複素数とする。zの共役な複素数をz*と表す。
次の式からzの描く図形を求めよ
|z-z^3|=|z^2-z^3|
これの両辺を2乗すると
(z-z^3)(z*-z^3*)=(z^2-z^3)(z^2*-z^3*)
zz*-zz^3*-z*z^3+z^3z^3*=
z^2z^2*-z^2z^3*-z^2*z^3+z^3z^3*
|z|^2-z^2*|z|^2-z^2|z|^2=|z|^4-z*|z|^4-z|z|^4
1-z^2-z^2*=|z|^2-z*|z|^2-z|z|^2 (|z|^2≠0より)
1-z^2-z^2*=(1-z-z*)|z|^2

となったのですが、この問題自体は最初に因数分解すれば解けるのですが、なぜ2乗すると解けないのでしょうか？

その原因を知りたいので教えてください

No.1 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/21 12:24

1-z^2-z^2*=(1-z-z*)|z|^2

z=a+biと表現して
1-(a+bi)^2-(a-bi)^2=(1-(a+bi)-(a-bi))(a^2+b^2)

左辺＝1-(a+bi)^2-(a-bi)^2
=1-(a^2+2abi-b^2)-(a^2-2abi-b^2)
=1-2a^2+2b^2

右辺＝(1-(a+bi)-(a-bi))(a^2+b^2)
=(1-2a)(a^2+b^2)
=a^2+b^2-2a^3-2ab^2

右辺-左辺＝a^2+b^2-2a^3-2ab^2-1+2a^2-2b^2
=3a^2-b^2-2a^3-2ab^2-1
=-2a^3+3a^2-2b^2*a-b^2-1
=(a+1/2)(-2a^2+4a-2(1+b^2))
=0

よって
a=-1/2
もしくは
-a^2+2a-1-b^2=0

-a^2+2a-1-b^2=0の時
b^2=-(a-1)^2
a,bともに実数なので
b^2≧0,-(a-1)^2≦0
よって
b^2=0=-(a-1)^2
b=0,a=1
z=1
ただしz≠1なので解なし

a=-1/2の時
z=-1/2
これが解である。
そしてこれは因数分解によって求めた解に等しい。

No.2 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2017/02/21 15:48

1-z^2-z^2*=(1-z-z*)|z|^2は、

1-z^2-z^2*-(1-z-z*)|z|^2=0 で、この左辺は＝(1+z+z*)|1-z|^2　と変形できます。
そしてz≠1なので、1+z+z*＝0　これは因数分解して求めたのと同じ式です。

この回答へのお礼

わかりました！ありがとうございました

お礼日時：2017/02/21 16:44