次の和Sの求め方について解説お願い致します

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No.5 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2017/03/22 17:36

尚、高校生ならば、

一般項=(1/2)(1/n+1 ー 1/n+3 )
より、部分分数分解により、初項と最終項が残りますので

→次項と最終項の一つ前の項も！！！
尚、No1は、最終計算がおかしく、正しければ、同じになります！

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/22 20:27

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/03/22 17:26

部分和分法(定和分)で解くと

一般項=1/(n+1)(n+3) =(n+2)/(n+1)(n+2)(n+3) と変形する。
S=∫ (x+2)・(x+1)〔ー3〕⊿x【x: n+1…1】
=∫ (x+2)・⊿(1/2)(x+1)〔ー2〕 ⊿x【x:n+1…1】
=［(x+2)(1/2)(x+1)〔ー2〕］【x:n+1…1】ー∫ (ー1/2)(x+2)〔ー2〕 ⊿x 【x:n+1…1】
=(n+3)(ー1/2)(n+2)〔ー2〕ー(ー1/2)・3・(1/6)+1/2［(x+2)〔ー1〕 /(ー2+1)］【x:n+1…1】
=(ー1/2)(n+3)/｛(n+2)(n+3)｝+1/4 ー1/2｛1/(n+3) ー 1/3｝
= ー1/｛2(n+2)｝ー1/｛2(n+3)｝+1/4+1/6
= ー(n+3+n+2)/｛2(n+2)(n+3)｝ +5/12
=5/12 ー (2n+5)/｛2(n+2)(n+3)｝ …Ans

教科書の答えと同じになりましたので、間違いないと思いますます。
尚、高校生ならば、
一般項=(1/2)(1/n+1 ー 1/n+3 )
より、部分分数分解により、初項と最終項が残りますので計算お願いします！
尚 自作のメモを添付します！

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/03/22 15:04

n+2=X とおくと1/(X+1)(Xー1)=(1/2)｛1/(Xー1) ー 1/(X+1)｝

と部分分解すればいいが、大学1年の教科書の問題と同じ
(問題80ー7)の答えをみてください！
解法は後で記載しますね！

No.2 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/03/22 14:09

1/((n+1)(n+3))=a/(n+1)+b/(n+3)

とおくと、
a(n+3)+b(n+1)=1
a=(1-b(n+1))/(n+3)
=(1-bn-b)/(n+3)
=-b+(2b+1)/(n+3)
式を満たせばa,bの組み合わせは自由なので、
b=(n+2)/2とすると
a=-n/2-1+1=-n/2
1/((n+1)(n+3))=-n/(2(n+1))+(n+2)/(2(n+3))

n=1なら
1/(2*4)=-1/(2(1+1))+(1+2)/(2(1+3))=-1/4+3/8=1/8
n=2なら
1/(3*5)=-2/(2(2+1))+(2+2)/(2(2+3))=-2/6+4/10=1/15
n=3なら
1/(4*6)=-3/(2(3+1))+(3+2)/(2(3+3))=-3/8+5/12=1/24
ここで分かりましたかね？
n=1の時の3/8をn=3の時の-3/8で打ち消すことができます。
-n/(2(n+1))のnをn+2にすると
-(n+2)/(2(n+3))となり、
(n+2)/(2(n+3))を打ち消せるわけですね。

ということは、Sを求める時に中央部分は全てお互いに打ち消しあい、
残った両端部分のみ計算すればよいと言うことです。
k番目の項を考えた時残るのは、
k=1の-1/4
k=2の-2/6=-1/3
k=n-1の(n+1)/(2(n+2))
k=nの(n+2)/(2(n+3))
合わせると
S=-1/4-1/3+(n+1)/(2(n+2))+(n+2)/(2(n+3))
=-7/12+((n+1)(n+3)+(n+2)(n+2))/(2(n+2)(n+3))
=-7/12+(n^2+4n+3+n^2+4n+4)/(2(n+2)(n+3))
=(-7(n+2)(n+3)+6(2n^2+8n+7))/(12(n+2)(n+3))
=(-7n^2-35n-42+12n^2+48n+42)/(12(n+2)(n+3))
=(5n^2+13n)/(12(n+2)(n+3))
=n(5n+13)/(12(n+2)(n+3))
として計算できます。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/22 20:27

No.1 回答者： Ku-Mei 回答日時： 2017/03/22 13:26

この級数の一般項は、

　　1/(n(n + 2)) = 1/2(1/n - 1/(n + 2))
と表されますから、求める級数の値は、
　　S = 1/2{(1/2 - 1/4) + (1/3 - 1/5) + (1/4 - 1/6) + ....
+ (1/(n + 1) - 1/(n + 3))}
　　　= 1/2{1/2 + 1/3 - 1/(n + 2) - 1/(n + 3)}
　　　= 5/2{1/6 - 1/((n + 2)(n + 3))}
となります。 １行目から２行目への計算は、1/2, 1/3 は残り、1/4 以下の分数は次々とキャンセルされていき、最後の方で 1/(n + 2), 1/(n + 3) が残ったというものです。
(問題の式から、n は、５以上であると考えておきます。)

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2017/03/22 20:27