問題 1,3,9,27,81,・・・,3^n,・・・グラムの分銅が1個ずつあるとき、天秤を用いてどん

問題
1,3,9,27,81,・・・,3^n,・・・グラムの分銅が1個ずつあるとき、天秤を用いてどんな種類の重さをはかることができますか。
[Hint:割り算の式の余りを変える]

教えてください！！

No.1 回答者： spacecruiseryamato 回答日時： 2017/04/11 17:15

どんな物でも測れるが・

だって　1ｇの重さが判れば　それと釣り合う物は1ｇだから　分銅の代わりになる・・

小数点が　付かない物なら　1ｔでも100ｔでも　測れる・・

No.2 ベストアンサー 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/04/12 01:08

○が重さを量りたいもので、X:のXがその重さを表しています。

他の数値は分銅の重さです。
1:○=1
2:○+1=3
3:○=3
4:○=1+3
5:○+1+3=9
6:○+3=9
7:○+3=1+9
8:○+1=9
9:○=9
10:○=1+9
11:○+1=3+9
12:○=3+9
13:○=1+3+9
14:○+1+3+9=27
15:○+3+9=27
16:○+3+9=1+27
17:○+1+9=27
18:○+9=27
19:○+9=1+27
20:○+1+9=3+27
21:○+9=3+27
22:○+9=1+3+27
23:○+1+3=27
24:○+3=27
25:○+3=1+27
26:○+1=27
27:○=27
…

結果的に全ての自然数(グラム)の重さを計ることができます。
なぜかというと、（左側に○を乗せているとして）
まず○の最少は1グラムで、1グラムの分銅と釣り合います。
○=1

○が1グラム増えると、左が+1になります。
右の1を移して、左が+2、右が-1です。
差が3なので、右に3を乗せて釣り合います。
○+1=3

更に○が1グラム増えると、左が+1になります。
左には既に1があるので、それを取り除けば釣り合います。
○=3

更に○が1グラム増えると、左が+1になります。
先ほど取り除いた1を右に乗せれば釣り合います。
○=1+3

更に○が1グラム増えると、左が+1になります。
今出てきた1と3は全て右に乗っていますが、足りないので次は9を使います。
右の1+3を左に移すと、左は+5、右は-4で差は9なので、9を右に乗せれば釣り合います。
○+1+3=9

更に○が1グラム増えると、左が+1になります。
左には1があるので取り除けば釣り合います。
○+3=9

更に○が1グラム増えると、左が+1になります。
先ほどの1を右に乗せると釣り合います。
○+3=1+9

更に○が1グラム増えると、左が+1になります。
3を取り除くと左が-2となるので、右の1を左に移せば釣り合います。
○+1=9

更に○が1グラム増えると、左が+1になります。
先ほどの1を取り除くと釣り合います。
○=9

…

これを説明しなおすと、
１を使って１を量れます。１の２倍＋１である３を加えると、
１と３を使って、差の２、３そのもの、和の４（１*3+1）も量れるようになります。
１と３で１～４を量れるので、４の2倍に1を足した９を加えると、
９と４の差（＝5）～9と１の差（＝８）、９そのもの、９と１の和（＝10）～3つの和（＝4の3倍+1＝13）
つまり１～１３が量れるようになります。
１３の2倍に１を足した２７を加えると、
２７と１３の差（１４）～２７と１の差（２６）、２７そのもの、２７と１の和（２８）～4つの和（＝１３＊３＋１＝４０）
つまり１～４０が量れるようになります。

言い換えれば、
「それまで量る事ができる最大の重さ」の２倍に、１を加えた重さ、の分銅を用意する事で、
それまで量る事ができた最大の重さ＋１～それまで量る事ができた最大の重さ＊３＋１
の各重さを量る事ができるわけです。

そして3^n=Σ(3^k)(k=0~n-1)*2+1と表す事ができます。
（等比数列の和なので、Σ(3^k)(k=0~n-1)=(3^n-1)/(3-1)=(3^n-1)/2
　(3^n-1)/2*2+1=3^nです）
つまり3^n(nは自然数)グラムの重さの分銅が1個ずつあるという事は、
(その最大の分銅の重さ-1)/2*3+1=その最大の分銅の重さ*1.5-0.5グラム　までの各重さを量る事ができる。ということです。

説明があまり綺麗ではなかったかもしれませんが、とりあえず自然数グラムは全て量れるよ。ということですね。