103 の途中式がよく分からないので、教えて下さい！ 104は極限値の計算で手こずってて、何で1/3

103 の途中式がよく分からないので、教えて下さい！
104は極限値の計算で手こずってて、何で1/3になるのかわかりません。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2017/04/29 12:07

あー、104は下から２行目の分母はｘ－2じゃなく、2(ｘ－2)　ですね（＾＾）。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2017/04/29 12:24

ごめん、分母じゃなく分子が2(ｘ－2)です。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2017/04/29 14:04

103は、

ｘが1に近づくとき、ｘ－2は、―1に近づくので、
ｘが1に近いとき、ｆ(ｘ)＜0、
そして|ｘ－2|は1に近づくので、ｘが1に近いとき、|ｘ－2|＞1/2としてよいから、
ｘが1に近いとき、|ｆ(ｘ)|＞(1/2)/(ｘ－1)²で、ｘ→1のとき、右辺は＋∞に発散
するので、|ｆ(ｘ)|も＋∞に発散する。
以上から、ｘ→1のときｆ(ｘ)は―∞に発散するということです。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/04/30 22:25

103 lim【x→1】｛(xー1)ー1｝/(xー1)^2でもいいが、

わかりやすくするのに、xー1=t とおくと、x→1ならt→0より
与式=lim【t→0】(tー1)/t^2 において
分子は、ー1に収束するが、
分母は、必ず正で、限りなく0 つまり+0 に近づくから、ー1/+0 →ー∞ になる！

104 の与式の
分子=√(2x+k) ー3 において、与式の値が有限値を持つためには、(分母=xー2なので)
分子も xー2 の因子がないといけないので、よって、分子の有理化をすると、
分子=｛√(2x+k) ー3｝｛√(2x+k) +3｝=2x+k ー3^2 …(1)
分母=｛√(2x+k) +3｝(xー2) より …(2)

2x+k ー9=2｛xー (9ーk)/2｝であるから、｛…｝の中の(9ーk)/2=2 であればいいので ∴ 9ーk=4 ∴ k=5 …(3)

(1),(2)より x→2において (3)を代入して
分子=2x+5ー9=2xー4=2(xー2)
分母=｛√(2x+5) +3｝(xー2)
従って、分母、分子で(xー2)を約分して、
分子/分母=4/(√2x+5) +3 )→4/｛(2・2+5) +3 ｝=4/6=1/3 【x→2】
∴ 与式=1/3

このように、lim文字を書かない書き方もあるよ！