電磁気学の問題です

同心球コンデンサがあり、その内半径a[m]、外半径b[m]であるとき、球の中心を通る平面で2等分し、その半径にεの誘電体を満たすと全体の静電容量はいくらになるか
という問題なのですがわかりません！教えて下さい！
ちなみに答えはC=2π(ε0+ε)/(1/a-1/b) となっています

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/01 20:56

まず、全体に誘電率 ε0 の誘電体を満たしたときの同心球の静電容量は分かりますね？

C1 = 4πε0/(1/a-1/b)
です。
ガウスの法則から半径 r （a<r<b）での電場の強さを求め、それをa～bで積分してab間の電位差 V1 を求めれば、電荷から静電容量が求まります。(C1 ＝ Q/V1)


また、全体に誘電率 ε の誘電体を満たしたときの同心球の静電容量も分かりますね？
全く同様に
C2 = 4πε/(1/a-1/b)
です。

これが分かれば、あとはその各々の「半分」のコンデンサーを「並列接続」したと考えれば解けます。
C = C1/2 + C2/2

No.2 回答者： 大阪の家庭教師 回答日時： 2017/05/04 10:19

コンデンサーの真空の側をA、誘電体のある側をBとします。

A、Bに蓄えられている電荷をQA、QBとします。内球、外球ともそれぞれ全体が等電位で、Aの部分の電位差とＢの部分の電位差は等しくVとおけます。電場もA側とB側で同じです。Oを中心に半径rの球上の電場をE(r)とおいて、A側、B側の半径rの半球の閉曲面にガウスの法則を適用して
QA/ε0=E(r)・4πr^2/2
QB/ε=E(r)・4πr^2/2
よって
QB=ε/ε０・QA
E(r)=QA/2πε0r2
電位と電場の関係よりV=∫E(r)dr（積分範囲はaからb)
∴V=QA/2πε0・(1/a-1/b)
これらをQA+QB=CVに代入して
QA+ε/ε０・QA=C{QA/2πε0・(1/a-1/b)}
∴C=2π(ε0+ε)/(1/a-1/b)

参照
http://wp.me/p8axer-dH