マンガでよめる痔のこと・薬のこと

下図のような二つの誘電体からなる円筒形コンデンサーの
静電容量を求める際の式展開について質問させてください。

手持ちの本では
E(R) = k / 2πR (kは不定定数)
として議論を進めています。

しかし、誘電率の大小によって電場は強弱は変化するわけですので
電場はRのみの関数であるというのは自明とは思えません。

どのように考えればよいでしょうか?
ご教授ください。

「二つの誘電体からなる円筒の静電容量につい」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • ご回答ありがとうございます。
    丁寧に考えたいので暫しお時間ください。

      補足日時:2017/01/15 10:41

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A 回答 (14件中1~10件)

ANO8をもう少し丁寧に説明してみます。



円筒形電極に電荷がある場合、それに接する誘電体の表面には、
反対の電荷(分極)が発生します。

円筒形電極の電荷の面積密度をρ(θ)とすると(θは円筒座標の角度)、
誘電体表面には面積密度 -α(θ)ρ(θ) が発生し、
金属電極と誘電体の境界には正味の電荷密度 ρ'(θ)=ρ(θ)(1-α(θ)) の電荷が貯まります。
#ρ(θ)とα(θ)はθの関数の意味

(1-α(θ)) = 1/εr(θ) なので(εr(θ): 比誘電率)

ρ'(θ)=ρ(θ)(1-α(θ)) = ρ(θ)/εr(θ)

金属、誘電体境界面内に広がる電荷ρ'(θ)は反発しあって、
円筒形の境界面に「均等に」広がろうとします。なので
ρ'(θ) とみなしてよいので境界面での電界は

E(θ)=ρ(θ)/ε0εr(θ)=ρ'(θ)/ε0=一定

誘電体内には電荷はないので、真空と同様に扱って
差し支えありません。

するとこの問題は

円筒形上の真空に、円筒の表面に電荷が密度 ρ'(θ) で分布した
状況と同じなので、電場は円筒の軸から放射状に広がる
軸対称の形になります。

ガウスの定理から E が R に反比例することは明らかです。
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この回答へのお礼

正味電荷(真電荷と誘電電荷の和)がお互いに反発しあって円筒状に均等に分布するという
イメージが抜けていたのがわからない根本の原因であると思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2017/01/16 16:09

もうひととつ、これも間違ってました(^^;


>df(x)/dx=-df(-x)/dx≠df(-x)/dx

df(x)/dx=df(-x)/dx

df(x)/dx|x=α = -df(x)/dx|x=-α

つまり ANO9の

-(1/r)∂φ(r,-θ)/∂θ=(1/r)∂φ(r,θ)/∂θ 

は実は上の後者の意味

-(1/r)∂φ(r,θ)/∂θ|θ=-α = (1/r)∂φ(r,θ)/∂θ|θ=α

なので φ(r,-θ)=φ(r,θ) を代入する意味はない
ということでした。

微分の独立変数と、微分後、独立変数に代入する値に
同じ記号を使っている時は細心の注意が必要ですね。
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>ρ'(θ) とみなしてよいので境界面での電界は


修正。文言が抜けました(^^;
ρ'(θ) =一定 とみなしてよいので境界面での電界は
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#10さま



ご指摘ありがとうございます。
確かに間違いです。

Eθが常に"0"であることを示すにはφ(r,θ)の満たすべき方程式であるラプラス方程式の一般解を求めて境界条件からθに関する部分が定数になることを示せばよいのかな?
面倒だからほかの人お願い。
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AN09さんの主張は、「全ての偶関数はー定」 と


等価なので間違いでしょう。

おかしなところは
>この左辺に①を代入すると
ですね。

偶関数
f(x)=f(-x)
の微分は
df(x)/dx=-df(-x)/dx≠df(-x)/dx

つまり、微分の分子の関数f(x)を
f(x)=f(-x)だからといって、f(-x)に
入れ替えることはできません。
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#2のものです。


慣れていると対称性からEはRのみの関数で動径方向の成分しか持たないとすぐにわかるのですが、それが自明かというと少し考えないといけませんね。

Eが動径方向の成分しか持たない、ということが示せれば簡単にEがRのみの関数であるといえると思いますのでそちらを証明しましょう。

まず、座標系を2次元極座標でとります。3次元でとってもz成分は結局対称性から無視できるので2次元でよいでしょう。
θ1を2等分する半直線をθ=0の線とします。
静電ポテンシャルをφ(r,θ)とおくと対称性から
φ(r,-θ)=φ(r,θ)  ①
であることはわかると思います。

また、電界Eのθ方向成分Eθは対称性から
Eθ(r,-θ)=-Eθ(r,θ)  ②
であることもわかります。(これは図に書いて確認してください。(r,θ)におけるθ方向と(r,-θ)におけるθ方向が異なることに注意)

またEθ(r,θ)=-(1/r)∂φ(r,θ)/∂θであることから②より
-(1/r)∂φ(r,-θ)/∂θ=(1/r)∂φ(r,θ)/∂θ
-∂φ(r,-θ)/∂θ=∂φ(r,θ)/∂θ
この左辺に①を代入すると
-∂φ(r,θ)/∂θ=∂φ(r,θ)/∂θ → ∂φ(r,θ)/∂θ=0 がr,θによらず成り立つ → Eθ(r,θ)は常に"0"
となります。
以上のことから電界Eは動径方向成分しか持たないことがわかります。

これから先は同一誘電体内でEr(r,θ)がθによらないことを適当な閉じた経路上でのEの周回積分が"0"になることから示すことができ、さらに二つの誘電体の接する面での連続の関係からEr(r)がどちらの誘電体でも同じ値になることが示せます。
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この回答へのお礼

お手数お掛けしました。
考え方が大変参考になりました。

お礼日時:2017/01/16 16:11

>誘電率の非対称性が電場に影響しない理論的な説明は


>まだよくわからんです。

多分、こういことかな。

円筒電極と誘電体の境界にある真電荷と分極電荷の和は
円筒であるという対称性を考慮すると均一でないと
電場の勾配が発生して、金属表面が等電位面じゃ
なくなってしまう。

つまり、円筒面上でのある場所の電荷密度を ρ、
そこでの誘電体の比誘電率をεrとすると
ρ/εrは円筒上のいたるところで一定でないといけない。
これは ρ/ε (ε: 誘電体の誘電率) が一定と等価。

つまり、電極表面では電場 E = ρ/ε は一定でなければいけない。

ρ/εr一定は、真空中で、円筒形電極上に均一に電荷がある
場合と同じなので、電場は円筒の軸に垂直で軸対称に
なる。

ということだと思います。
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No.1&3です。


砂川・電磁気学を見てみましたが、確かに詳しい説明なく
 E(R) = k / 2πR (kは不定定数)
が登場しますね。

これは、誘電体の境界面での電束密度の法線成分はゼロですので、例えば平板コンデンサーで、平板の面積を分割して2種類の誘電率の誘電体を挿入したものと同じように考えれば分かりやすいのではないでしょうか。

平板コンデンサーで、
 Q = CV = (εS/d)V
のVは導体極板上で均一で、幾何学的に S, d も一定なので、電場 E = V/d は均一で、 Q の分布は誘電率 ε の分布に従うことになります。

円筒型では、これを円周角で分割していることになります。
平板の場合と同じように、「円筒」を誘電体分布と同じ角度で長手方向に割って、2つの「長手円弧コンデンサー」に分けて考えてみてはどうでしょうか。
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この回答へのお礼

誘電率によって真電荷の分布が変化するんですね。
平板ならイメージしやすいです。
ご回答ありがとうございました。

お礼日時:2017/01/16 16:12

とりあえず PHOTO-VOLT という電場計算ソフトを使って


数値計算すると

E(R) = k / 2πR

と合致する結果になって、誘電率の影響を受けないことは
確認できたんですが・・・

誘電率の非対称性が電場に影響しない理論的な説明は
まだよくわからんです。
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>電極間電圧(V)と電極間距離(d)が決まれば


>誘電体が何であれ電場(E)は E=V/d です。

勘違いしてました。円筒形というのは大小の円筒型の
電極があるということですね。申し訳ない。
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(1)内球と外球の電荷
  外側の球の表面に電荷 Q を与えたとき、内側の球の表面に-Q'の電荷が誘起されるとします。
  すると、外側の球の裏面(内面)には Q' の電荷が誘起されます。このとき外側の球の表面の電荷を Q'' とすれば、外側の球の電荷の総量は Q なので、 Q' + Q'' = Q → Q'' = Q - Q'

(2)Q' を求める
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半径aと半径b(a<b)の同心球殻状の導体から作られるコンデンサーを考える。
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という問題が解けません。
特に、同心球殻状の導体から作られるコンデンサーの考え方がわかりません。
どなたか解いていただけませんか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

基本的な考え方だけ説明します。
「球面上に一様に分布した電荷qは、球内に電場を作らず、球外では
動径方向を向く電場E(r)=q/(4πεr^2)をつくる」(ε:真空の誘電率)

内球に電荷q1が分布するとき、
0<r<aでE1(r)=0,a<rでE1(r)=(1/4πε)(q1/r^2)
外球に電荷q2が分布するとき、
0<r<bでE2(r)=0、b<rでE2(r)=(1/4πε)(q2/r^2)
実際の電場は、E(r)=E1(r)+E2(r)

電荷は、内球の外面にq1,外球の内面に-q1,外球の外面にq2分布する。

電位は、
φb=∫[0→∞] E(r)dr=(1/4πε)(q1+q2)/b
φa=φb+∫[a→b] E(r)dr=φb+(q1/4πε)(1/a-1/b)

q1=-Q,q2=+Qより、電位差は、
V=φa-φb=(Q/4πε)(1/a-1/b)だから、
C=Q/V=(Q/4πε)/(1/a-1/b)

Q導体で同心の外球、内球があり内球が接地されています。

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3031710.html

ここの問題の条件で、内外球の静電容量を求めよという問題があります。今やっている問題とほぼ一致した条件なので引用させてもらいました。

僕自身、接地するということがいまいちどういうことなのか理解できていない感じなのですが、
引用した質問の電界の答えから、内外球の電位差を求めてC=Q/Vという定義から静電容量を求めたところ、答えと一致しました。

そこで疑問がわいたのですが、C=Q/Vの定義が使えるのは外球と内球にそれぞれ-Q、+Qの電荷を与えているときと教科書に書いてありました。

この問題だと、外球にQの電荷を与えているだけで、内球には-Q'の電荷が誘起されています。
なぜC=Q/Vの定義から答えが算出できたのでしょうか?

電磁気学の理解に乏しいので詳しく教えていただきたいです。

Aベストアンサー

「与えた」に余りこだわりすぎると
「孤立した半径 a の導体球の容量を求めよ」というような問題
(たいていのテキストに出ている)の解釈がうまく行かなくなります.

わかりやすい平行平板コンデンサーでいいますと,
「2つの極板にそれぞれ +Q,-Q の電荷を与えた」というのは,
もともと電荷がなかった状態を出発点にして電荷を Q だけ一方の極板からもう一方の極板に
移したと考えればよいでしょう.
そうすれば,一方の極板には +Q の電荷が,もう一方の極板には -Q の電荷が,
それぞれ存在することになります.

上の孤立球の問題も,無限遠から孤立球に電荷 Q を移したと考えればよろしい.
そうすると,孤立球に +Q の電荷があるわけで,無限遠との電位差 Q/4πε_0 a から
Q = CV にしたがって C = 4πε_0 a と容量が求まります.

さて,今の問題で内球を接地したというのは内球と無限遠を導線でつないだ,
つまり内球と無限遠との電位差を同じにしたことを意味します.
で,上の解釈に従えば,内球と無限遠から外球(正確には外球殻)へ電荷 Q を移すことになります.
外球殻には内側表面に電荷に +Q' ,外側表面に +Q'' が分布します.
記号は引用された
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa3031710.html
に従っています.
内球には -Q',無限遠には -Q'' があることになりますが,
Q' と Q'' の割合は2つの電位差,すなわち外球殻と内球の電位差,および外球殻と無限遠の電位差が
等しくなるように決まります.
内球と無限遠は導線で結ばれていますから電位は同じでないといけないのです.
もし,内球からのみ電荷を外球殻に移しても,
内球と無限遠は導線で結ばれていますから電荷は自由に行き来できるので,
上の条件に従うように勝手に電荷が移動します.
引用された inara さんのご回答はこうやって Q' と Q'' を決めています.

図で表すなら

          │
      ┌───┴───┐
      │       │
      │       │
外球殻内側─┴─     ─┴─外球殻外側
                    
   内球─┬─     ─┬─無限遠
      │       │
      │       │
      └───┬───┘
          │

と思えばよいでしょう.
実際,求めた容量は2つのコンデンサーの容量を合成したものになっていますので,
それもご確認下さい.

「与えた」に余りこだわりすぎると
「孤立した半径 a の導体球の容量を求めよ」というような問題
(たいていのテキストに出ている)の解釈がうまく行かなくなります.

わかりやすい平行平板コンデンサーでいいますと,
「2つの極板にそれぞれ +Q,-Q の電荷を与えた」というのは,
もともと電荷がなかった状態を出発点にして電荷を Q だけ一方の極板からもう一方の極板に
移したと考えればよいでしょう.
そうすれば,一方の極板には +Q の電荷が,もう一方の極板には -Q の電荷が,
それぞれ存在するこ...続きを読む

Q円筒コンデンサー中の誘電体の動き

同軸で長さLの半径R1、R2(R1<R2)の円筒型コンデンサに、
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Aベストアンサー

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の関係が成り立ちます。
つまり、
誘電体になされた仕事 = 電源が行った仕事 - コンデンサに蓄えられた静電エネルギーの増加
となります。

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コンデンサに蓄えられた静電エネルギーの増加量も挿入量の関数として得られるはずです。

これから、挿入量xの時の誘電体になされた仕事の量がxの関数として得られます。

力の大きさは仕事を挿入量xで微分すれば得られます。

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まず私は

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Aベストアンサー

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円筒コンデンサの電界の求め方について、分からないことがあります。問題は以下のようなものです。(直近で同じ問題を投稿された方がいらっしゃいましたが、電界に関する質問ですのでご容赦ください。)

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ここで、質問なのですが、なぜこの式を解くと、内半径が求まるのでしょうか?私は、これと同じとき方をしたのですが、外半径(中心から外側の円筒までの距離)を求めるものだと思っていて間違いました。

「電界の大きさが3kV/mm」とありますが、これはどこの電界の強さを指しているのでしょうか?電界の大きさは、内側(内円筒の表面)と外側(外円筒の表面)では、面積も違うし(電荷の密度が違う)、中心からの距離も違うので電界の大きさは違うとおもうのですが・・・。なぜ、内側と判断できて、上記のように解けるのでしょうか?

お力を貸してください。よろしくお願いします。

円筒コンデンサの電界の求め方について、分からないことがあります。問題は以下のようなものです。(直近で同じ問題を投稿された方がいらっしゃいましたが、電界に関する質問ですのでご容赦ください。)

問題:長さ1mについて500pFの静電容量を有する同心円筒コンデンサ(同軸円筒コンデンサ)で10kVの電位差を加えたときに電界の大きさが3kV/mmを超えないようにしたい。円筒の大きさを求めよ。(間は真空です。)

学校の説明では、

ガウスの法則を使い、E=Q/2πRε。この式に、Q=CV=5OO*1...続きを読む

Aベストアンサー

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「3kV/mmを超えないようにしたい」にですから、電界がもっとも強いところで3kV/mmになる条件を見つけることになります。
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E=σ/ε0

(某問題2)接地された無限に広い平面の導体から距離aの位置に電気量Qの点電荷がある。。。。。以下省略。

で、解いていく最中、この平面の表面に誘起される面密度をσとし、σのつくる電界をガウスの法則で求めるが、解答をみると
E=σ/2ε0

(某問題3)無限に広い導体平面の上に一様な面密度σの電荷が分布している。。。。。。以下省略。

で、解答中、σによる電界は平面に垂直でその大きさは、
E=σ/ε0

(某問題4)液体の誘電体があり、その液中に導体の板が二枚がある距離をもって向き合っている。そして、導体間に電位差Vがある。2導体の引き合う力を求めよ。

で、+電極の真電荷密度をσ、それに接する液体面の分極電荷密度
をσpとすると、-電極にはそれぞれ、-σ、-σpの電荷が有る。+電極の力を求めるには-電極の-σと-σpがσに及ぼす力を考えればよい。-σと-σpだけがつくる電界は
E=(σ+σp)/2ε0

自分なりに推測したところ、

某問題1と3は、表面に垂直な微小円筒を仮想閉曲面とし、ガウスの法則を適用する。
導体内部では電界はゼロで、導体の外部に出ている閉曲面の部分を考えればよく、また、側面はE・dS=0。
従って、積分が残るのは上面だけであり、E=σ/ε0

某問題2と4では、微小円筒の仮想閉曲面が平面を貫いており、上の1と3における積分が上面と下面になり、
E=σ/2ε0

と考えました。

私の質問は、
・某問題1~4のEの求め方は私の推測で正しいでしょうか?
次に、私の推測が正しいかどうかわかりませんが、
・なぜ、2と4の問題では、下面の積分も残るのでしょうか?
 問題の条件文はそのまま上に書きましたが、私が何度読んでも、4つとも同じ条件に見えてしまいます。
この見極め方を教えて頂きたいです。

よろしくお願いします。

現在電磁気学を勉強している者です。
今回は、導体表面の電界について質問させて頂きます。
演習書を解いていたところ、下のようにわからなくなりました。

問題について書くと、

(某問題1)平行板形コンデンサの二枚の平行導体板に面密度±σが一様に分布している。。。。。以下省略。

で、σのつくる電界はガウスの法則から、
E=σ/ε0

(某問題2)接地された無限に広い平面の導体から距離aの位置に電気量Qの点電荷がある。。。。。以下省略。

で、解いていく最中、この平面の表面に誘起される面密度...続きを読む

Aベストアンサー

こんにちは。
あなたの疑問は、おそらく次の違いを明確にしていないことから
生じたものではないでしょうか。
導体平板が1枚か、2枚か、によって、その周囲にできる
電場の様子が違います。
(1)1枚の無限に広がった平板導体の場合
     E=σ/2ε
  ___________
|_+__+__+__+__|  電荷の面密度は+σとする。

     E=σ/2ε

(2)正負電荷を帯びたの2枚の無限に広い平行平板導体の場合
     E=0
  ___________
|_+__+__+__+__|  電荷の面密度は+σとする。

     E=σ/ε
  ___________
|_-__-__-__-__|  電荷の面密度は-σとする。

     E=0

(1)の電場の強さはガウスの法則で求まります。
それはあなたが推測された通りです。

(2)では、+の平板が作る電場と、-の平板が作る電場とを
重ね合わせることによって、そこに生じている電場を求めます。
2つの平板の間では、2つの電場は向きが同じなので、
強めあう重なりになります。
2つの平板の外側では、2つの電場は向きが逆なので、
弱めあう重なりになります。

こんにちは。
あなたの疑問は、おそらく次の違いを明確にしていないことから
生じたものではないでしょうか。
導体平板が1枚か、2枚か、によって、その周囲にできる
電場の様子が違います。
(1)1枚の無限に広がった平板導体の場合
     E=σ/2ε
  ___________
|_+__+__+__+__|  電荷の面密度は+σとする。

     E=σ/2ε

(2)正負電荷を帯びたの2枚の無限に広い平行平板導体の場合
     E=0
  ___________
|_+__+__+...続きを読む