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物理の問題で立方体の各辺はrの抵抗からできている。次の場合の全抵抗を求めよ。
(1)a,bを端子とする場合
(2)a、cを端子とする場合
解答を見ると(1)の答えが6/5×rで(2)の答えが3/4×rでした。(1)の場合どうやらa→d→c→bの順のみしか考えていないようなのですが、例えばfを通る経路はなぜ考えなくてもいいのでしょうか?
(2)のcを端子とする場合はcに向かってくる3方向を考慮しているようなのですが(1)と(2)の違いはなんなのでしょうか?
解説をお願いします。図は写真の感じです。

「物理の問題で立方体の各辺はrの抵抗からで」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • すいません。(1)の答えは5/6×rです。失礼しました。

      補足日時:2017/05/15 20:18

A 回答 (2件)

泥臭く計算してみましょうか。


d の下を e, a の下を g, f の下を h としましょう。

(1) a, b を端子とする場合

a → d, e, g は「すぐ隣」ですから、抵抗値は各々 r で、 d, e, g は同電位になります。
a と d, e, g との電位差を V1 とすると、各々の抵抗を流れる電流は
 Iad = V1/r = I1   ①
 Iae = V1/r = I1
 Iag = V1/r = I1

c, f, h → b も「すぐ隣」ですから、抵抗値は各々 r で、 c, f, h は同電位になります。
b と c, f, h との電位差を V2 とすると、各々の抵抗を流れる電流は
 Icb = V2/r = I2   ②
 Ifb = V2/r = I2
 Ihb = V2/r = I2
対称性から、V1 = V2 , I1 = I2 であることが分かります。

点 d, e, g と、点 c, f, h との間は、各々同電位差間を2辺(2個の抵抗並列)で接続しています。
つまり、点 d, e, g と、点 c, f, h との間の電位差を V3 とすれば、例えば点 c を考えると
 Idc + Ifc = V3/r + V3/r = 2 * V3/r = Icb = I2 = I1   ③
同様に
 Ide + Ige = V3/r + V3/r = 2 * V3/r = Icb = I2 = I1
 Igh + Ifh = V3/r + V3/r = 2 * V3/r = Icb = I2 = I1

以上より、端子 ab 間に電圧 V をかけた場合、
 V = V1 + V2 + V3
で、流れる電流は
 I = 3 * I1 = 3 * I2
なので、合成抵抗 R1 は①②③を使って
 R1 = V/I = (V1 + V2 + V3)/(3 * I1)
   = (I1 * r + I1 * r + (1/2)I1 * r)/(3 * I1)
   = (5/2)I1 * r /(3 * I1)
   = (5/6) * r


(2) a, c を端子とする場合

これも同じように解けばよいのですが、対称性から
 d, f, e, h
の電位が等しくなることに気付けば簡単です。

a と d, f, e, h との電位差と、d, f, e, h と c との電位差とは等しいので、これらを V4 とおけば
 Iad = Idc = V4/r   ④
 Iaf = Ifc = V4/r   ⑤
 Iage + Iagh = Iebc + Ihbc = V4/[ (3/2)r ] = (2/3) * V4/r   ⑥
  (↑ 合成抵抗は、ag間の r と、ge/gh の r 2個の並列とを、直列につないだもの)

ここでは、de, fh 間には同電位なので電流は流れません。

以上より、端子 ac 間に電圧 V をかけた場合、
 V = V4 + V4 = 2 * V4
で、流れる電流は
 I = Iad + Iaf +Iage + Iagh = (8/3) * V4/r
なので、合成抵抗 R1 は④~⑦を使って
 R1 = V/I = (2* V4)/[ (8/3) * V4/r ]
   = (3/4) * r
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これは対称性を使えばそんなに難しくない。



abの場合、aから電流が流れ込むとすると、aで電流が3方向に等分に分割され
次の頂点で等分に2分されることに気付けば

(1/3)Ir + (1/6)Ir + (1/3)Ir = V → V/I=(5/6)rとあっさり解けます。

acの場合はもっと簡単で、同電位になる頂点同士は開放してよいので
rと3rの並列接続だから

r・3r/(r + 3r)=(3/4)r
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