質問です。抵抗の等しい線(抵抗値=r) 6本で正四面体を作った時のOM間の合成抵抗を求めよ。ただし、

質問です。抵抗の等しい線(抵抗値=r) 6本で正四面体を作った時のOM間の合成抵抗を求めよ。ただし、Mは線分BCの中点。お願いします。

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2018/05/31 19:52

OAを 2r 2本の並列と考えると、対称性がから、Aを2つに分けて良いので

B側の合成抵抗は(3/4)r+r/2=(5/4)r
C側も同じで並列になるから、合わせて

(5/8)r

No.6 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/05/31 18:16

まだ解決していませんか？

次のように考えても良いかもです。
AO、AB、ACはY接続になっているから
これをΔ接続に変換して（スター、デルタ変換して）みると楽そうです。
都合が良いことに各辺の抵抗値は等しくrなので
変換後はOB、OC、BC間いずれも抵抗は３ｒ（変換後のOB間の抵抗=(rxr+rxr+rxr)/r=3r 他も同様）
次に、BC間は対称性から等電位→デルタ変換で出来たBC間の抵抗には電流が流れない→変換でできたBC間の抵抗は無視
このとき回路をM→B⇒Oの順にたどると
MB間はr/2
BO間はrと３ｒ（3r:デルタ変換後の抵抗）の並列回路なので
OB間はrx3r/(r+3r)=3r/4
MB、OBあわせてr/2+3r/4=5r/4
対称性からM→C⇒Oの順にたどった場合も同じく抵抗値は5r/4
すなわちM→B⇒OとM→C⇒Oとたどる経路は並列でともに抵抗が5r/4
→OM間の合成抵抗は(5r/4)x(5r/4)/(5r/4+5r/4)=5r/8
または、簡単に同じ抵抗値の並列接続だから、合成抵抗は(5r/4)÷2=5r/8

図が無いと分かりにくいでしょうか？

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/05/31 17:01

対称性から B と C が等電位になることを使うと意外と簡単.

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2018/05/31 13:12

まずは、単純化した「等価回路」を書くことです。

これがうまく書けないということは、回路構成がどうなっているかが把握できていないということです。

この場合の等価回路は下図のようになります。

等価回路が書けたら、「直列」「並列」の関係を見ながら合成抵抗 R0 を求めていけばよいのですが、複雑な場合にはうまくいきません。
その場合には、求めたい端子間に電源をつないで、その電圧 E で流れる電流 I を求めます。
そうすれば、オームの法則から
　E = I*R0
→　R0 = E/I
が全体の合成抵抗になります。

電圧 E の電源をつないだときに、各部に流れる電流を図のように仮定します。
（B→M の電流は i2+i5、C→M の電流は i3+i4 で求まるので、これ以上の部分電流を考えなくて大丈夫です）

すると「キルヒホッフの電流則」つまり「流入する電流と流出する電流の和は等しい]から
　I = i1 + i2 + i3　　　①
　i1 = i4 + i5　　　　　②
という関係になることが分かります。
また「キルヒホッフの電圧則」つまり「ループを一周する電圧の和はゼロ]から
　E - Ri1 - Ri5 - (R/2)(i2 + i5) = 0　　　③
　E - Ri1 - Ri4 - (R/2)(i3 + i4) = 0　　　④
　E - Ri2 - (R/2)(i2 + i5) = 0　　　　　　⑤
　E - Ri3 - (R/2)(i3 + i4) = 0　　　　　　⑥

②～⑥の5個の方程式から、i1～i5は E, R を使って表され、それと①から　R0 = E/I が求まるはずです。

やってみれば
③～⑥を整理して
　i1 + (1/2)i2 + (3/2)i5 = E/R　　③’
　i1 + (1/2)i3 + (3/2)i4 = E/R　　④’
　(3/2)i2 + (1/2)i5 = E/R　　⑤’
　(3/2)i3 + (1/2)i4 = E/R　　⑥’

③’⑤’より
　i1 + (1/2)i2 + (3/2)i5 = (3/2)i2 + (1/2)i5
→　i1 - i2 + i5 = 0
→　i5 = i2 - i1
③’に代入して
　i1 + (1/2)i2 + (3/2)(i2 - i1) = E/R
→　-(1/2)i1 + 2i2 = E/R
→　i2 = (1/2)E/R + (1/4)i1　　　⑦

④’⑥’より
　i1 + (1/2)i3 + (3/2)i3 = (3/2)i3 + (1/2)i4
→　i1 - i3 + i4 = 0
→　i4 = i3 - i1
④’に代入して
　i1 + (1/2)i3 + (3/2)(i3 - i1) = E/R
→　-(1/2)i1 + 2i3 = E/R
→　i3 = (1/2)E/R + (1/4)i1　　　　⑧

②に代入して
　i1 = i2 - i1 + i3 - i1
→　3i1 = i2 + i3
　　　　　= E/R + (1/2)i1
→　(5/2)i1 = E/R
→　i1 = (2/5)E/R

⑦より
　i2 = (3/5)E/R
⑧より
　i3 = (3/5)E/R

ついでながら
　i4 = (1/5)E/R
　i5 = (1/5)E/R

よって①より
　I = i1 + i2 + i3 = (8/5)E/R
なので
　R0 = E/I = E/[ (8/5)E/R ] = 5ER/8E = (5/8)R

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/05/31 12:28

OAの抵抗を縦に二つに切り裂き　O→A1→BとO→A2→Cの独立した二つの経路に分けて考えましょう。

O→A1,O→A2の経路は断面積が半分になっていることから抵抗値はO→Aの倍、つまり2rになります。

このように考えた回路は元の回路と等しい。この回路でのOM間の抵抗の計算はさほど難しくないでしょう。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/05/31 12:22

OからMに電流を流す（OMに起電力を接続）

OAに流れる電流を2Iとすると
対称性からAB、ACには２Iが等しくIとIに分流
また、対称性からOBとOCに流れる電流をiとすると
Bで合流した電流i+IがBMに流れる
同様にCMもi+I
すると、電源からOに流れ込む電流は２I+2iということになる

ここでOB間の電位降下（電圧）を考えると
ri=r*2I+rI >>>OBの抵抗の電圧=OAの抵抗の電圧+ABの抵抗の電圧
→i=3I
すなわちOBの抵抗には3Iの電流
BM間は4Iの電流が流れ
電源からOに流入する電流は８Iとなる

次に求めるべき抵抗をRtとすると
OM間の電位降下を考えて
Rt*8I=r*3I+(r/2)*4I >>>OM間の合成抵抗の電圧=OBの抵抗の電圧+BMの抵抗の電圧
→8RtI=5rI
Rt=5r/8

となるのでは

No.1 回答者： まませ 回答日時： 2018/05/31 02:46

直列接続の場合は、各抵抗の和に等しく、並列接続の場合は、各抵抗の逆数の和が合成抵抗の逆数に等しい。

これでわかりそうですか？