物理の問題で立方体の各辺はrの抵抗からできている。次の場合の全抵抗を求めよ。 (1)a,bを端子とす

物理の問題で立方体の各辺はrの抵抗からできている。次の場合の全抵抗を求めよ。
(1)a,bを端子とする場合
(2)a、cを端子とする場合
解答を見ると(1)の答えが6/5×rで(2)の答えが3/4×rでした。(1)の場合どうやらa→d→c→bの順のみしか考えていないようなのですが、例えばfを通る経路はなぜ考えなくてもいいのでしょうか？
(2)のcを端子とする場合はcに向かってくる3方向を考慮しているようなのですが(1)と(2)の違いはなんなのでしょうか？
解説をお願いします。図は写真の感じです。

質問者からの補足コメント

• すいません。(1)の答えは5/6×rです。失礼しました。

    補足日時：2017/05/15 20:18

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/05/15 23:20

これは対称性を使えばそんなに難しくない。

abの場合、aから電流が流れ込むとすると、aで電流が3方向に等分に分割され
次の頂点で等分に2分されることに気付けば

(1/3)Ir + (1/6)Ir + (1/3)Ir = V　→　V/I=(5/6)rとあっさり解けます。

acの場合はもっと簡単で、同電位になる頂点同士は開放してよいので
rと3rの並列接続だから

r・3r/(r + 3r)=(3/4)r

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/05/16 15:46

泥臭く計算してみましょうか。

d の下を e, a の下を g, f の下を h としましょう。

(1) a, b を端子とする場合

a → d, e, g は「すぐ隣」ですから、抵抗値は各々 r で、 d, e, g は同電位になります。
a と d, e, g との電位差を V1 とすると、各々の抵抗を流れる電流は
　Iad = V1/r = I1　　　①
　Iae = V1/r = I1
　Iag = V1/r = I1

c, f, h → b も「すぐ隣」ですから、抵抗値は各々 r で、 c, f, h は同電位になります。
b と c, f, h との電位差を V2 とすると、各々の抵抗を流れる電流は
　Icb = V2/r = I2　　　②
　Ifb = V2/r = I2
　Ihb = V2/r = I2
対称性から、V1 = V2 , I1 = I2 であることが分かります。

点 d, e, g と、点 c, f, h との間は、各々同電位差間を２辺（２個の抵抗並列）で接続しています。
つまり、点 d, e, g と、点 c, f, h との間の電位差を V3 とすれば、例えば点 c を考えると
　Idc + Ifc = V3/r + V3/r = 2 * V3/r = Icb = I2 = I1　　　③
同様に
　Ide + Ige = V3/r + V3/r = 2 * V3/r = Icb = I2 = I1
　Igh + Ifh = V3/r + V3/r = 2 * V3/r = Icb = I2 = I1

以上より、端子 ab 間に電圧 V をかけた場合、
　V = V1 + V2 + V3
で、流れる電流は
　I = 3 * I1 = 3 * I2
なので、合成抵抗 R1 は①②③を使って
　R1 = V/I = (V1 + V2 + V3)/(3 * I1)
　　　= (I1 * r + I1 * r + (1/2)I1 * r)/(3 * I1)
　　　= (5/2)I1 * r /(3 * I1)
　　　= (5/6) * r


(2) a, c を端子とする場合

これも同じように解けばよいのですが、対称性から
　d, f, e, h
の電位が等しくなることに気付けば簡単です。

a と d, f, e, h との電位差と、d, f, e, h と c との電位差とは等しいので、これらを V4 とおけば
　Iad = Idc = V4/r　　　④
　Iaf = Ifc = V4/r　　　⑤
　Iage + Iagh = Iebc + Ihbc = V4/[ (3/2)r ] = (2/3) * V4/r　　　⑥
　　（↑　合成抵抗は、ag間の r と、ge/gh の r ２個の並列とを、直列につないだもの）

ここでは、de, fh 間には同電位なので電流は流れません。

以上より、端子 ac 間に電圧 V をかけた場合、
　V = V4 + V4 = 2 * V4
で、流れる電流は
　I = Iad + Iaf +Iage + Iagh = (8/3) * V4/r
なので、合成抵抗 R1 は④～⑦を使って
　R1 = V/I = (２* V4)/[ (8/3) * V4/r ]
　　　= (3/4) * r