数3 積分の問題です解答過程を教えてください f(x)=∫ 1→x x+4t/√3x^4+t^4

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質問者：カルビ。
質問日時：2017/05/20 00:29
回答数：4件

数3 積分の問題です解答過程を教えてください
f(x)=∫ 1→x x+4t/√3x^4+t^4 dt と定める
f'(2)を求めよ
(3x^4+t^4は根号内です)

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回答 (4件)

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No.4

回答者： syotao
回答日時：2017/05/24 14:35

あー、積分範囲まちがえてたんやねー、ごめんなさい。

積分範囲を1かららｘとして、∫4t/√(3x⁴+t⁴ )dt　は
さっきの　2log(ｔ²＋√(3x⁴+t⁴ )）のｔにｘを入れた式から、1を入れた式をひいて
∫4t/√(3x⁴+t⁴ )dt＝2{log(3ｘ²)－log(1＋√(3x⁴+1 ))}　になります。
また、1からｘまでの∫ｘdtは＝ｘ(ｘ－1)なので、結局
ｆ(ｘ)＝ｘ(ｘ－1)＋2{log(3ｘ²)－log(1＋√(3x⁴+1 ))}　となり、これを微分して
ｘ＝2をいれて、f'(2)は最終的に＝23/7　になります。

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No.3

回答者： Ae610
回答日時：2017/05/24 00:08

被積分関数の中にxが含まれてるからf'(x)の求め方が一寸ややこしい気がする・・!

(これ、本当に高校課程の数学Ⅲの範囲!?・・なの?)

f(x)=∫[1→x]{x+4t/√(3x^4+t^4)}dt
f'(x) = ∂/∂x∫[1→x]{x+4t/√(3x^4+t^4)}dt
=∂/∂x∫[1→x]xdt＋∂/∂x{∫[1→x]{4t/√(3x^4+t^4)}dt}
=d(x^2-x)/dx＋∫[1→x]{∂(4t/√(3x^4+t^4))/∂x}dt
= 2x－1＋∫[1→x]{(-1/2)・(3x^4+t^4)^(-3/2)・12x・4t}dt＋4x/√(3x^4+x^4)
= 2x－1－24・∫[1→x]{(3x^4+t^4)^(-3/2)・xt}dt＋2/x

当方で計算すると・・、
f'(2) = 2・2－1+2/2－24・∫[1→2]{(48+t^4)^(-3/2)・2t}dt
= 4－12・∫[1→2]{4ｔ・(48+t^4)^(-3/2)}dt
= 4－5/28
=107/28
(計算間違えなければ・・!)

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No.2

回答者： syotao
回答日時：2017/05/23 18:16

不定積分∫4t/√(3x⁴+t⁴ )dtは　ｔ²＝ｕとおいて＝∫２ｄｕ/√(3x⁴+ｕ² )＝2log(ｕ＋√(3x⁴+ｕ² )）

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝2log(ｔ²＋√(3x⁴+t⁴ )）
となるから、
0からｘまでの定積分∫4t/√(3x⁴+t⁴ )dtは最終的に＝log3となってｘによらなくなります。
したがって
f(ｘ)＝ｘ²＋log3　なので　f'(2)＝4　となります。