「二つの2次方程式があり、一方の2解の間に、他方の1解が存在する」ことを証明する問題について

a>0のとき、次の方程式は相異なる実数解を持つ。②の解のうち１つだけが、①の二つの解の間にあることを示せ。
x^2-x-a=0…①
x^2+ax-1=0…②

（模範解答）
①の判別式をD1、②の判別式をD2とするとD1=1+4a>0,D2=a^2+4>0となり、①②はいずれも相異なる２実数解をもつ。

ここで、①の解をα、β(α<β)、②の解をγ、δ(γ<δ)とする。
このとき②から、
γ^2+aγ-1=0⇔γ^2=1-aγ…③
δ^2+aδ-1=0⇔δ^2=1-aδ…④
また、②において解と係数の関係より
γ+δ=-a…⑤
γδ=-1…⑥

f(x)=x^2-x-aとすると
f(γ)f(δ)=(γ^2-γ-a)(δ^2-δ-a)=(1-aγ-γ-a)(1-aδ-δ-a)(∵③④)
=｛(1-a)-(1+a)γ｝｛(1-a)-(1+a)δ｝=(1-a)^2-(1-a^2)(γ+δ)+(1+a)^2γδ=(1-a)^2-(1-a^2)*(-a)+(1+a^2)*(-1)(∵⑤⑥)
=-a^3-3a<0 (∵a>0)
これより、f(γ)<0,f(δ)>0ならばα<γ<β<δであり、f(γ)>0,f(δ)<0ならばγ<α<δ<βとなる。

上記のf(γ)f(δ)<0を証明する方法だと、「②の解γ、δの間に①の一解が存在する。」ことを意味している感があるので、以下の別解を作成してみました。

（別解）
①の判別式をD1、②の判別式をD2とするとD1=1+4a>0,D2=a^2+4>0となり、①②はいずれも相異なる２実数解をもつ。

ここで、①の解をα、β(α<β)、②の解をγ、δ(γ<δ)とする。
このとき①から
α^2-α-a=0⇔α^2=α+a…③
β^2-β-a=0⇔β^2=β+a…④
また、①において解と係数の関係より
α+β=1…⑤
αβ=-a…⑥

g(x)=x^2+ax-1とすると
g(α)g(β)=(α^2+aα-1)(β^2+aβ-1)=(α+a+aα-1)(β+a+aβ-1)(∵③④)
=｛((1+a)α-(1-a)｝｛(1+a)β-(1-a)｝=(1+a)^2αβ-(1-a^2)(α+β)+(1-a)^2=(1+a)^2*(-a)-(1-a^2)+(1-a)^2(∵⑤⑥)
=-a^3-3a<0 (∵a>0)
これより、g(α)>0,g(β)<0ならばα<γ<β<δであり、g(α)<0,g(β)>0ならばγ<α<δ<βとなる。

別解と模範解答は同じことを証明しているような気もするのですが、、、

I.別解でも正しいでしょうか？
Ⅱ.別解でも正しいのであれば、
・2次関数方程式の解の配置問題では「mnoの間に一解づつ」の定石として、「下に凸の２次関数y=f(x)のグラフについてf(m)>0、f(n)<0、f(o)>0」をつかうことがある。
・したがって、別解、つまりg(α)g(β)<0を示したほうが、「①の二つの解の間に、②の解のうち１つだけがある」に直感的にそぐう気がする。にもかかわらず、模範解答が模範解答のようにf(γ)f(δ)<0を証明するのは何故なんでしょうか？？？

以上についてお分かりの方がおられましたらよろしくお願いします。よろしくお願いします。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/06/01 13:26

うぅ～ん, 本当なら

「②の解のうち１つだけが、①の二つの解の間にある」ことを示すために何を言いたいのか
を明確にしておいた方がいいような気がするな～.

以下記号を
・(1) の左辺を f(x), 2解を α および β (α<β)
・(2) の左辺を g(x), 2解を γ および δ (γ<δ)
としておきます. すると関数 f(x) のグラフは下に凸の放物線になるので
・x が (1) の 2解の間にある (解そのものではない) ⇔ α < x < β ⇔ f(x) < 0,
・x が (1) の 2解の間にない (解そのものではない) ⇔ x < α または β < x ⇔ f(x) > 0
と言えます. したがって「(2) の解のうち 1つだけが (1) の 2解の間にある」は
γ と δ の一方だけが (1) の 2解の間にある ⇔ 「f(γ) < 0 かつ f(δ) > 0」または「f(δ) < 0 かつ f(γ) > 0」 ⇔ f(γ) f(δ) < 0
と考えられます.

一方, g(x) が連続であることから中間値の定理を適用することができ,
g(α) g(β) < 0 なら g(x) = 0 の解が α と β の間に存在する
といえます. g(x) が一般の関数のときには g(x) = 0 の解が「いくつ」 α と β の間に存在するかは中間値の定理だけではわかりませんが, 今は g(x) が 2次関数であることがわかっているので g(α) g(β) < 0 が示せれば g(x) = 0 の解のうち 1つだけが α と β の間にあるとわかります.

この回答へのお礼

早々のご回答ありがとうございます。
模範解答でも別解でも正解ということですね。。

「g(x) が一般の関数のときには g(x) = 0 の解が「いくつ」 α と β の間に存在するかは中間値の定理だけではわかりませんが, 今は g(x) が 2次関数であることがわかっているので g(α) g(β) < 0 が示せれば g(x) = 0 の解のうち 1つだけが α と β の間にあるとわかります.」のほうが理解しやすい、と感じられました。

今後ともよろしくお願いします。

お礼日時：2017/06/01 15:15