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ばねを地面に固定し、ばね最大長Lまで伸ばした時に
力Fを発揮する引張ばねの自然長L0を求める式を教えてください。
このときばね自身の質量を考慮してください。
以下に用いる記号を示します。

ばね質量    :M
重力加速度   :g
ばね自然長   :L0
ばね最大長   :L
ばね素線直径  :a
ばねコイル直径 :b
ばね密度    :ρ
横弾性係数   :G
ワールの修正係数:κ
張力      :T
有効巻数    :N ※素線同士が密着しているものとする。
ばね初張力は無いものとする。

私は図に示したように F=Mg+T として考えました。
最終的にL0=~の形になるように自分なりに式変形してみたのですが、納得いく答えが得られませんでした。
どうかお力添えをお願いいたします。

「ばねの自重を考慮した引張ばねの自然長をも」の質問画像

A 回答 (5件)

No.1です。

そもそも、与えられた条件が何で、何が既知で、未知の何を求めるのか、を明確にしないといけません。

No.1では、下記の解釈で書いています。

(1)水平状態での自然長が L0
(2)これを長さ L にするための引張力が F

  →これより、ばね定数は k=F/(L - L0) となる。   ①

(3)このばねを鉛直方向に天井から吊り下げる。
 このときの自然長が Y とする。
(床の上に置いてもよい。伸びるか縮むかの違い。ただし「縮み」の場合には、ばねが「ふんづまり」(つまり、ばねの素線どうしが密着してそれ以上縮まない状態)にはならないという条件でないといけません)

(4)ばねの自重(質量)を M, 重力加速度を g とすると
  (Y - L0)*k = Mg   ②
で釣り合う。

(5)②式より「与えられたばね定数」のばねにおいて、「鉛直方向に置いたときの自然長 Y を既知として、水平状態での自然長 L0 を求める」あるいは「水平状態での自然長 L0 を既知として、鉛直方向に置いたときの自然長 Y を求める」ことができる。

(6)これが分かれば、「質量 m のおもりによる重力 mg または外力 F1 が働いたときのばねの長さ L1 」が分かります。
  (L1 - Y)*k = mg
です。

 与えられた仕様値では、L0 は既知なのですよね? そうすれば(5)で「鉛直状態での自然長 Y」が求まるので、ばね定数さえ分かっていれば(6)で問題を解くことができるはずです。

 この中で、どうやら(2)が、与えられた条件と違うようですね。
 この条件が異なるなら、他の方法で①「ばね定数 k」を求める必要があります。

 いずれにせよ、この「ばね定数 k」をどうやって求めるかが、この問題を解くポイントかと思います。与えられた仕様値からどのように求めるのかは、浅学なので分かりません。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ばね定数はk=Ga^4/(8Nb^3)で算出を行いました。
既知の値と未知の値を明言せず、大変申し訳ありませんでした。
一番に回答をしていただいたこと、個人的に回答の式を追いやすかったことが助かりました。

お礼日時:2017/06/09 19:31

バネ係数kは、バネ素線の直径、コイル径、横弾性係数、


有効巻き数から求まります。

k=Ga^4/(8Nb^3)

バネ会社のサイトなど覗くと無数に見つかりますね。
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とりあえず、ばね定数を k、ばねが自然長の場合のばねの下端からの距離 x でばねの張力を表すと


ばねの上端では F, ばねの下端では F - Mg なので

T(x) = F - Mg + (x/L0)Mg

ばねの伸び ΔL = {1/(kL0)}∫[0~L0]Tdx なので

ΔL = {1/(kL0)}∫[0~L0]F - Mg + (x/L0)Mgdx = {1/(kL0)}{(F - Mg)L0 + (1/2)L0Mg}
= (F - Mg)/k + (1/2)Mg/k = (F-Mg/2)/k

従って L = L0 + ΔL → L0 = L - ΔL = L - (F-Mg/2)/k
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ρL0=M なのかな?



自重を考える場合、張力はバネの場所によって異なるので
#上に行くほどそれより下の重さが加わる
その点を考慮して伸びを積分で求める必要が有ります。

それほど難しくは無いですよ。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ρVL0をMとしました。
回転数×2πで微分方程式を解きました

お礼日時:2017/06/09 19:17

もろもろの仕様値は、ばねを水平に置いたときの値と考えます。



ばねをつるしたときには、「天井」の力のつり合いを考えればよいのです。

ばねをつるした「天井」では、ばねの自重 Mg の力を受けます。その反力で、天井はばねを -Mg で引っ張っています。

ばねはその力で引っ張られて伸びているので、水平での自然長 L0 からの伸びを x とすると、ばね定数を k として
 -Mg = -kx
です。
従って
 x = Mg/k
この長さだけ、水平に置いた自然長よりも伸びます。

鉛直につるしたときの自重での長さを Y とすれば
 x = Y - L0
ということですので
 Y - L0 = Mg/k
ということになります。

k は与えられていませんが、水平で自然長 L0 から長さ L に伸ばしたときの復元力が F なら、
 k = F/(L - L0)
ということです。

これを使えば
 Y - L0 = Mg(L - L0)/F

これより、L0 について整理して
 L0 = (MgL - Y*F) / (Mg - F)
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>回答を形成した時、b→aに電子が動くのはどのような現象が原因でしょうか

何が「原因」になって、何が「結果」なのかを分けて考えましょう。

(1)「導体棒の中に電場ができる」というのは、導体棒内で電子が b→a に移動して「導体棒の両端に電位差」ができた「結果」です。
 導体棒内で電子が b→a に移動するのは、「磁場中で導体棒を動かした」結果です。

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双曲線軌道の離心率eとして
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双曲線軌道をs=0の軸に対称になるように配置する
宇宙船はt=-∞の時点の無限遠点(r,s)=(∞,-α)から
恒星を焦点とする双曲線を描いて恒星を左に見ながら回り込み
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時間の原点は宇宙船がs=0にあるときとする
s':=ds/dt,r':=dr/dtとする
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=(H^2/μ)(esin(s))(H(ecos(s)+1)^2/(H^2/μ)^2)/(ecos(s)+1)^2
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esin(s)=r'H/μ
である
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t→∞でr'→vであるからt→∞として
v=esin(α)(μ/H) ...(1)
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またt=∞で(r,s)=(∞,α)であるから
ecos(α)+1=0 ...(2)
である
(0),(1),(2)より
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である
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-----------------------------------------------
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これまでは根号の中身が負の数はNGでした。
これからは、根号の中身が負であってもOKです。
-------------------------------------------------
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--------------------------------------------------

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>厳格な実験以外何一つ根拠としてはならない。

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・はベクトルのスカラー積(内積),ds→はs→における経路lの接線方向の積分変数(線素)です。
全てはこの式から計算することになります。

この計算を行う場合、l上の点s→とds→を計算できるように表すことが必要となります。通常は適当な座標でs→を表しその座標要素で表現します。

今回の場合、座標として角度を使う方が良いでしょう。
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