ばねの自重を考慮した引張ばねの自然長をもとめたい

ばねを地面に固定し、ばね最大長Ｌまで伸ばした時に
力Ｆを発揮する引張ばねの自然長Ｌ０を求める式を教えてください。
このときばね自身の質量を考慮してください。
以下に用いる記号を示します。

ばね質量　　　　：M
重力加速度　　　：g
ばね自然長　　　：L0
ばね最大長　　　：L
ばね素線直径　　：a
ばねコイル直径　：b
ばね密度　　　　：ρ
横弾性係数　　　：G
ワールの修正係数：κ
張力　　　　　　：Ｔ
有効巻数　　　　：N　※素線同士が密着しているものとする。
ばね初張力は無いものとする。

私は図に示したように Ｆ＝Ｍｇ+Ｔ として考えました。
最終的にL0＝~の形になるように自分なりに式変形してみたのですが、納得いく答えが得られませんでした。
どうかお力添えをお願いいたします。

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/06/03 12:27

No.1です。

そもそも、与えられた条件が何で、何が既知で、未知の何を求めるのか、を明確にしないといけません。

No.1では、下記の解釈で書いています。

（１）水平状態での自然長が L0
（２）これを長さ L にするための引張力が F

　　→これより、ばね定数は k=F/(L - L0) となる。　　　①

（３）このばねを鉛直方向に天井から吊り下げる。
　このときの自然長が Y とする。
（床の上に置いてもよい。伸びるか縮むかの違い。ただし「縮み」の場合には、ばねが「ふんづまり」（つまり、ばねの素線どうしが密着してそれ以上縮まない状態）にはならないという条件でないといけません）

（４）ばねの自重（質量）を M,　重力加速度を g とすると
　　(Y - L0)*k = Mg　　　②
で釣り合う。

（５）②式より「与えられたばね定数」のばねにおいて、「鉛直方向に置いたときの自然長 Y を既知として、水平状態での自然長 L0 を求める」あるいは「水平状態での自然長 L0 を既知として、鉛直方向に置いたときの自然長 Y を求める」ことができる。

（６）これが分かれば、「質量 m のおもりによる重力 mg または外力 F1 が働いたときのばねの長さ L1 」が分かります。
　　(L1 - Y)*k = mg
です。

　与えられた仕様値では、L0 は既知なのですよね？　そうすれば（５）で「鉛直状態での自然長 Y」が求まるので、ばね定数さえ分かっていれば（６）で問題を解くことができるはずです。

　この中で、どうやら（２）が、与えられた条件と違うようですね。
　この条件が異なるなら、他の方法で①「ばね定数 k」を求める必要があります。

　いずれにせよ、この「ばね定数 k」をどうやって求めるかが、この問題を解くポイントかと思います。与えられた仕様値からどのように求めるのかは、浅学なので分かりません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ばね定数はk=Ga^4/(8Nb^3)で算出を行いました。
既知の値と未知の値を明言せず、大変申し訳ありませんでした。
一番に回答をしていただいたこと、個人的に回答の式を追いやすかったことが助かりました。

お礼日時：2017/06/09 19:31

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/06/03 14:34

バネ係数kは、バネ素線の直径、コイル径、横弾性係数、

有効巻き数から求まります。

k=Ga^4/(8Nb^3)

バネ会社のサイトなど覗くと無数に見つかりますね。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/06/03 05:05

とりあえず、ばね定数を k、ばねが自然長の場合のばねの下端からの距離 x でばねの張力を表すと

ばねの上端では F, ばねの下端では F - Mg なので

T(x) = F - Mg + (x/L0)Mg

ばねの伸び ΔL = {1/(kL0)}∫[0～L0]Tdx なので

ΔL = {1/(kL0)}∫[0～L0]F - Mg + (x/L0)Mgdx = {1/(kL0)}{(F - Mg)L0 + (1/2)L0Mg}
= (F - Mg)/k + (1/2)Mg/k = (F-Mg/2)/k

従って L = L0 + ΔL → L0 = L - ΔL = L - (F-Mg/2)/k

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/06/02 07:12

ρL0=M なのかな?

自重を考える場合、張力はバネの場所によって異なるので
#上に行くほどそれより下の重さが加わる
その点を考慮して伸びを積分で求める必要が有ります。

それほど難しくは無いですよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ρVＬ0をMとしました。
回転数×２πで微分方程式を解きました

お礼日時：2017/06/09 19:17

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2017/06/02 01:33

もろもろの仕様値は、ばねを水平に置いたときの値と考えます。

ばねをつるしたときには、「天井」の力のつり合いを考えればよいのです。

ばねをつるした「天井」では、ばねの自重 Mg の力を受けます。その反力で、天井はばねを -Mg で引っ張っています。

ばねはその力で引っ張られて伸びているので、水平での自然長 L0 からの伸びを x とすると、ばね定数を k として
　-Mg = -kx
です。
従って
　x = Mg/k
この長さだけ、水平に置いた自然長よりも伸びます。

鉛直につるしたときの自重での長さを Y とすれば
　x = Y - L0
ということですので
　Y - L0 = Mg/k
ということになります。

k は与えられていませんが、水平で自然長 L0 から長さ L に伸ばしたときの復元力が F なら、
　k = F/(L - L0)
ということです。

これを使えば
　Y - L0 = Mg(L - L0)/F

これより、L0 について整理して
　L0 = (MgL - Y*F) / (Mg - F)