一方が正則で、一方は正則でないの証明方法について Aはn次正方行列で、ある自然数mに対してA^m=E

一方が正則で、一方は正則でないの証明方法について




Aはn次正方行列で、ある自然数mに対してA^m=Enであるとする。以下のことを示せ。
(1)Aは正則で、A^(-1)=A^(m-1)
(2)En-Aまたは(E+A+...+A^{k-1})のうち一方は正則でない。

(1)は解けたのですが(2)がどうやって証明すればいいかわからないです。

自分の解答はこれであっていますか？
ともに正則でないを示すために、背理法を使おうと考えました。
そこで、ともに正則でないの否定の「ともに正則である」と仮定し、矛盾を示せば、
ともに正則でないが示すことができ、
さらに、
ともに正則であるが偽であることも示せますよね？

よって下のような解答になりました

(En-A)(En+A+...+A^{m-1}) = 0
このとき
(En-A)、(En+A+...+A^{m-1}) ともに正則であると仮定する。
(En-A)の逆行列B
(En+A+...+A^{m-1}) の逆行列をCとして、
両辺に左からCBを掛けると
En=0となって矛盾。
よって、
(En-A)と(En+A+...+A^{m-1}) が同時に正則になることはありえないので、
したがって、どちらか一方が正則で、もう一方は正則でない。

下図をイメージとして考えました。
A B
正則でない 正則でない ・・・偽
正則である 正則でない
正則でない 正則である
正則である 正則である ・・・偽

No.1 ベストアンサー 回答者： funoe 回答日時： 2017/06/12 15:08

この問題の３ページくらい前のページに

det(AB)=detA*detB　って定理が証明されていませんでしたか？
また、７ページくらい前のページに、Aが正則である⇔detA≠０　って証明されていますよね。
これらを使ってよければ簡単ですよね。


さてところで、
・En-Aまたは(E+A+...+A^{k-1})のうち一方は正則でない。　という主張と、
・どちらか一方が正則で、もう一方は正則でない。　　という主張は異なっていますね。
前者は、「両方とも正則でない」ケースを許容していますよ。

ーー
実際、帰謬法（背理法）の仮定は、「ともに正則である」ですから、
これが否定されたら「「ともに正則」ではない」＝「少なくとも一方は非正則」ですね。



ptwmjaさんの回答は大筋ではあっていますが着地に失敗しています。
誤「したがって、どちらか一方が正則で、もう一方は正則でない。」
正「したがって、どちらか一方は正則でない」