水素原子の半分が無限壁のシュレティンガー方程式は解けるでしょうか。

次のようなポテンシャルV(x)をもつ系を考えています。

x>0でV(x)=∞
x<0でV(x)=e^2/(4πεx^2)

この系のシュレティンガー方程式を解析的に解くことはできるでしょうか。固有値も固有関数もどちらも必要です。解法が載っているような参考図書などを教えていただければ幸いです。

質問者からの補足コメント

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  ありがとうございます。
  
  水素原子のシュレティンガー方程式の解のうち、x=0を満たすものだけが、いま考えている系の解になると思ったのですが、間違っていますでしょうか…。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/06/25 17:56

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  解決しました。
  
  水素原子の解を求めるときの議論を復習したら、確かにφ_1がこの系の基底状態であることが確認できました。他のすべての固有関数を求めることもできました。
  
  ありがとうございました。

  No.4の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/06/29 17:24

No.1 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2017/06/24 07:31

ポテンシャルが1/x^2であるのなら、水素原子とは異なるのですが1/xと思っていいですか。

そうであれば水素原子のs軌道の波動関数をu(r)/rとした時のuの従う方程式と同じはずです。

この回答へのお礼

ごめんなさい。1/xです。失礼しました。

お礼日時：2017/06/24 15:25

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2017/06/25 23:38

>水素原子のシュレティンガー方程式の解のうち、x=0を満たすものだけが、いま考えている系の解になると思ったのですが

「x=0を満たすもの」とは？

この回答へのお礼

すいません。また書き間違えました。わかりにくい（というか意味不明な）文章を加えてしまって申し訳ないです。

水素原子のシュレティンガー方程式の解をΨ_{n,l,m}(x,y,z)とします。(n,l,m)は量子数で、それぞれ主量子数、方位量子数、磁気量子数です。

いま、考えている系は通常の水素原子のポテンシャル
V(x,y,z)=e^2/(4πεr)
に加えて、位置(0,0,0)に無限大のポテンシャル、つまり、
V(0,0,0)=∞
が存在しています。

ですから、位置(x,y,z)=(0,0,0)での電子の存在確率は0が境界条件として加わり、
Ψ(0,0,0)=0
が満たされなければならないと思ったわけです。

以上から、s軌道、すなわちΨ_{1,0,0}(x,y,z)は位置(0,0,0)で0でないので、解として不適切ではと思いました。

お礼日時：2017/06/26 13:22

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2017/06/28 13:13

s軌道の波動関数はrのみの関数になり、l=m=0しかありませんので、ψ_{n,l,m}(x,y,z)とお書きになったものを、ψ_n(r)と書くことにします。

#1に書いたのは要するに、φ_n(r)=r ψ_n(r)がお考えのシュレーディンガー方程式の解であるという事です。
r=0でψ_n(r)が有限の値になっているのであれば、φ_n(0)=0は満たされるかと思うのですがいかがでしょうか。

この回答へのお礼

なんどもありがとうございます。

水素原子の１s軌道の波動関数はe^(-r)に比例するので、適当な定数Aを用いて、ψ_1(r)=A*e^(-r)とします。ここで確かめたいのは、φ_1(r)=r ψ_1(r) = A*r*e^(-r)が今考えている系

H = -h^2 ∇^2/2m + V (r)

の解になるか否かです。いま、ポテンシャルは
r>0でV(r)=∞
r<0でV(r)=e^2/(4πεr)
です。境界条件φ_1(0)=0は確かに満たされています。

ラプラシアンを極座標に直して、

H = -h^2/(2m) *( (∂/∂r)^2+2/r ∂/∂r ) + V (r)

です。(∂/∂r)^2はrでの2階微分を表しています。次に、
∂/∂r φ_1(r) = A(e^(-r)-r*e^(-r))
(∂/∂r)^2 φ_1(r) = A(r*e^(-r)-2e^(-r))
なので、

Hφ_1(r)
= -h^2/(2m) { (∂/∂r)^2 φ_1(r) + 2/r ∂/∂r φ_1(r) } + V(r)φ_1(r)
= -h^2/(2m) { A(r*e^(-r)-2e^(-r)) + 2/r A(e^(-r)-r*e^(-r)) } + V(r) A*r*e^(-r)

これが EA*r*e^(-r)という形になっていることが示せれば、確かにφ_1(r)はこの系の固有状態ですが、A*r*e^(-r)でくくることができないように思えます・・・。

お礼日時：2017/06/28 18:34

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2017/06/28 20:32

てっきり1次元系を考えているのかと思っていましたが、3次元系を考えているのなら水素原子そのものだと思うのですが何が違うのですか？

この回答へのお礼

私が変な勘違いをしていました。変数がxからrになったので3次元系の話になったのかと誤解しました。今は１次元系の話をしています。どうも今回の質問は不備だらけで、お恥ずかしいあまりです。何度もお付き合いしていただいて助かっています。ありがとうございます。

本題についてですが、1次元系の場合、

φ_1(x)=x ψ_1(x) = A*x*e^(-x/a)

とすれば、確かにこれが今考えている系の固有関数になっていることが確認できます。a=4πεh^2/me^2というのが肝でした。また、少し計算はヘビーですが、

φ_2(x)=x ψ_2(x) = A*(2-x/a)*e^{-x/(2a)}

も固有関数になっていることが確かめられました。（おそらく同様にφ_n(x)が解であることが示せそうです・・・）

ただ、φ_1(x)が基底状態か否かがわかりません。φ_1(x)よりもエネルギー固有値の小さい解が存在するのか否かはどのように議論すればよいのでしょうか。φ_n(x)以外の形をした解が存在するか否かを議論する方法があるでしょうか。

お礼日時：2017/06/28 21:51