角度θの部分を切り出して円錐を作りたいとき、この円錐の体積を最大にするにはどのようにしたら良いのですか。円錐の高さはxと考えます。

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A 回答 (1件)

円錐の高さはrとθの関数になるから、xと置いてはいけない。


簡単にする為、扇形の半径はrで無く1とし、θはラジアンで表す。

その扇形の円弧の長さが、円錐の底面の円周になるから、
底面の半径=θ/2π

底面積はπ半径²=θ²/4π

円錐の高さは3平方の定理より(√(4π²-θ²))/2π

円錐の体積V=底面積・高さ/3より
V={θ²√(4π²-θ²)}/24π²

Vがθの関数になったから、これをθで微分して極値と増減表で関数の増減を確認する。

V'={-3θ³+8・π²・θ}/{24・π²√(4π²-θ²)}

V'=0より極値を採るθを求めると、
0<θ<2πの条件では、θ=(2π√6)/3

増減表は
θ<(2π√6)/3の時、右上がり
(2π√6)/3<θの時、右下がり

∴θ=(2π√6)/3の時Vは最大値となる:但しθはラジアン
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