勾配ベクトルの成分について





z=f(x,y)で考えると
grad f=(∂f/∂x,∂f/∂y)でベクトルとして定義されていますよね?

∂f/∂x,∂f/∂yは曲面z=f(x,y)上のそれぞれx,y方向の傾きを表しているのですよね?

だとすると、grad fはベクトルで定義されているのだから∂f/∂x,∂f/∂yはそれぞれx成分、y成分を表している。
すなわち、xy平面上のベクトルを表していることになるはずですが、もし傾きを表しているのだったら
∂f/∂x,∂f/∂yは傾いているのだからxy平面上のベクトルは表せないはずなのではと思ったのですが、自分の考えのどこが間違えているか指摘お願いしますm(_ _)m

質問者からの補足コメント

  • ナッキナッキーさんお久しぶりです!


    うーん、僕にはまだ難しいです笑

    gradの向きについても今まで疑問に思っていたのですが、なぜ最大傾斜の方向なんですか❓

    z=f(x,y)が山であることを考えると傾斜って360°方向全てありますよね?

    その中でなんで最大傾斜の方向なんでしょうか❓

    質問の意味がわからないかもしれないですが、なにか情報をいただけると助かりますm(_ _)m

      補足日時:2017/07/11 17:36
  • しつこくてすいませんm(_ _)m

    ナッキナッキーさんが書いてくれたことを書いて追ってみたのですが

    dz/dt = ∂f/∂x・dx/dt + ∂f/∂y・dy/dt =0

    で=0となる理由がわかりませんでした

    また全微分
    dz= ∂f/∂x・dx+ ∂f/∂y・dy
    はわかるのですが
    dz/dt = ∂f/∂x・dx/dt + ∂f/∂y・dy/dt
    は初めてみました

    できればこの二つについて説明していただけると助かります

    これでもわからなかったら今回は諦めて先に進もうと思います!

    よろしお願いしますm(_ _)m

      補足日時:2017/07/12 16:25

A 回答 (6件)

No4です(^^)


いえいえ、理系はしつこいくらいが丁度良いです・・・異性には嫌われますが(^^;)

dz/dt = ∂f/∂x・dx/dt + ∂f/∂y・dy/dt =0
は z=f(x,y)=c c:定数 を考えているからです(´∀`)
見やすく z=c としておくと、dz/dt=0 ですよね(-_-)
示したかったのは、等高線にあたるz=c とgrad z が直交する事ですから、z=c を考えたんですね(´ω`*)

dz/dt = ∂f/∂x・dx/dt + ∂f/∂y・dy/dt ですが、正確な証明は数学の教科書・参考書にゆずりたいとおもいます・・・「偏微分」の所に載ってますよ(^^3)
ここでは、”たとえ話”をしておきますね(・ε・´)
z=(t-1)^3 をt で微分する場合を考えます・・・つまり、dz/dt ですね(~~;)
右辺を展開して微分してもいいですが、これは面倒ですよね・・・そこで、”お決まり”の技を使います・・・そう、置換です(^^@)
x=t-1 とすると、dx/dt=1
また、dz/dx=3x^2
したがって、dz/dt=dz/dx・dx/dt=3(t-1)^2 ですね(((-_- )
さらに、面倒な式を考えて、z=(t-1)^3 + (5t-3)^5 をt で微分してみましょう(*・ε・*)
これは、もちろん (t-1)^3 と(5t-3)^5 を別々にt で微分して、その結果を足したものが dz/dt ですね・・・当たりまですね(^^;)
(t-1)^3 を微分した結果は分かっていますので、(5t-3)^5 を微分しますね(・ー・)
y=5t-3 と置いて、dy/dt=5 ∴d{(5t-3)^5}/dt=d(y^5)/dt=d(y^5)/dy・dy/dt=5y^4・5=25y^4=25(5t-3)^4 ですね(^^A)
まあ、この最後の式はどーでもいいんですけどねΨ(`∀´)Ψ
つまり、z は z=x^3 + y^5 になりますので、
dz/dt=d(x^3)/dx・dx/dt + d(y^5)/dy・dy/dt って書けますね(◎◎!)
偏微分の書き方をすると、
d(x^3)/dx=∂z/∂x d(y^5)/dy=∂z/∂y ですね・・・つまり、 dz/dt=∂z/∂x・dx/dt + ∂z/∂y・dy/dt ですΣ(・ω´・ノ)ノ 

これが”たとえ話”である理由は、じゃあz=x√y だったらどーなんよ!と言われたらおしまいだから”たとえ話”なんですね(・o・)ノ
でも、これで、イメージをつかんでくれたら良いなぁ~(^O^)
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この回答へのお礼

>>いえいえ、理系はしつこいくらいが丁度良いです・・・異性には嫌われますが(^^;)

ということはナッキナッキーさんは女性なんですかね❓笑

というのは冗談にして、完全理解には至らなかったですが、おかげさまでなんとかイメージだけ作れたかなと思うので先に進みたいと思います

また見かけましたら宜しくお願いしますm(_ _)m

お礼日時:2017/07/13 12:43

gradが最大傾斜方向を向くというのは一旦忘れた方がいい。


「ある地点の」gradはx方向のfの傾斜とy方向のfの傾斜をベクトルの形で表したもの。
これ自体は最大傾斜の方向を意図して作られたものでは
無いです。

2方向の傾斜が解れば、「ある地点の」任意方向の傾斜が計算できます。
gradが最大傾斜を向くのは、おまけみたいなものですね。
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No3です(^^)


まだ生きてたよぉ~!(^^)ノ”

山のてっぺんなら grad は0になりますね・・・微分の極小・極大の性質を思い出すと分かると思います(´ω`*)

で、何で最大傾斜の方向なのか?ですね(-_-)
地図の等高線を思い出してみて下さいね(´∀`)
でも、等高線をスカスカに描いてしまうと、ハテ?ってなりますので、細かぁ~くびっしりと描かれた等高線を考えてみます(~~;)
この一部を拡大して見ると、等高線が平行に並んでいるように見えると思います(◎◎!)
と言う事は、等高線に垂直な方向が最大傾斜の方向になりますね(・∀・)
ここまで確認しておいて、z=f(x,y)=c c:定数 としておくと等高線に相当する曲線が描けます(・ー・)
位置ベクトルr=xi + yj i,jはx,yの単位ベクトル とします
パラメーターをt として、x=x(t),y=y(t) としましょう・・・ようするに、曲線の長さsをパラメーターとして採ればいいですね・・・(・ε・´)
すると、曲線f(x,y)=c に対するdr/dt は、この曲線の接線方向を向きます(勉強してますよね?)・・・rはベクトルです
dz/dt = ∂f/∂x・dx/dt + ∂f/∂y・dy/dt =0 となりますが、これを書き直しますね( ̄~ ̄;)
dz/dt=grad z ・dr/dt=(∂f/∂x・i + ∂f/∂y・j)・(dx/dt・i + dy/dt・j)=0 ですね(^^;)
つまり、grad z はf(x,y)=c の接線に直交する・・・したがって、grad z は最大傾斜の方向を向いている・・・って事ですΣ( ̄◇ ̄;)

教科書・参考書では gradΦ=∇=i・∂Φ/∂x + j・∂Φ/∂y + k・∂Φ/∂z で、説明があると思いますので、それを2次元にすれば分かると思いますよ(^^)
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grad は「勾配」と呼ばれるので、誤解があるように思えます(^^;)


grad で求まる物は、最も変化が激しい方向とその値なんですねΣ(・ω´・ノ)ノ 
坂道の場合は最大傾斜の方向とその値が求まるわけです・・・その意味では勾配は「傾き」ですね(´∀`)
質問では z=f(x,y) となっていますので、具体例で説明しますね(^^)
z=x+y とします(-_-)
これに等高線を描いてみるか、頭の中で想像してみて下さい(・∀・)
これを描くには x+y=c (c:定数) として、cに色々な値を入れみればいいですね(´ω`*)
すると、y=-x+c となりますので、傾き-1の曲線群(直線群?)が描けるはずです_Φ(^^ )
この曲線群に直交する方向が最大傾斜の方向で、傾斜角θは tanθ=√2 となりますね(*゚ー゚)
(曲線群に直交する方向は、直線y=x の方向ですね)
これを grad で求めてみます(・ー・)
grad z=i +j i,j はそれぞれx,yの単位ベクトル
となり、これの大きさは√2で、先ほどの結果と一致しますね(^O^)
注意して欲しい事は、grad で求まる方向は、坂道の場合では、坂に沿った方向ではなく、どの向きにに登れば傾斜が最大になるかが出てくるって事ですね( ^∀^)

・・・う~ん、ここまで書いておきながら、もしかして質問の意味と違った事を説明しているかも知れません(・・;)
もし違ったらゴメンね<(_ _)>
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普通の常微分 dy/dx もy方向のベクトルじゃないよね。



gradはxやy方向のZの傾斜。
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z = f(x, y) なら、z が x と y の関数なのではないですか?



∂f/∂x は、ある y を一定として、x の増分に対する f の増分であって、これが、傾きなのではないですか?

立体の地形図のようなものを想像してみて、ある緯度をきめて(y: const)、経度(x)の変化に対する高さ(z)の変化(傾き)はイメージできないでしょうか。
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