勾配ベクトルの成分について z=f(x,y)で考えると grad f=(∂f/∂x,∂f/∂y)でベ

Question

勾配ベクトルの成分について

z=f(x,y)で考えると
grad f=(∂f/∂x,∂f/∂y)でベクトルとして定義されていますよね？

∂f/∂x,∂f/∂yは曲面z=f(x,y)上のそれぞれx,y方向の傾きを表しているのですよね？

だとすると、grad fはベクトルで定義されているのだから∂f/∂x,∂f/∂yはそれぞれx成分、y成分を表している。
すなわち、xy平面上のベクトルを表していることになるはずですが、もし傾きを表しているのだったら
∂f/∂x,∂f/∂yは傾いているのだからxy平面上のベクトルは表せないはずなのではと思ったのですが、自分の考えのどこが間違えているか指摘お願いしますm(_ _)m

ナッキーナッキー · Accepted Answer

Ｎｏ４です(^^)
いえいえ、理系はしつこいくらいが丁度良いです・・・異性には嫌われますが(^^;)

dz/dt = ∂f/∂x・dx/dt + ∂f/∂y・dy/dt =0
は　z=f(x,y)=c　c:定数　を考えているからです(´∀｀)
見やすく　z=c　としておくと、dz/dt=0　ですよね(－＿－)
示したかったのは、等高線にあたるz=c とgrad z が直交する事ですから、z=c を考えたんですね(´ω｀*)

dz/dt = ∂f/∂x・dx/dt + ∂f/∂y・dy/dt　ですが、正確な証明は数学の教科書・参考書にゆずりたいとおもいます・・・「偏微分」の所に載ってますよ(^^3)
ここでは、”たとえ話”をしておきますね(・ε・´)
z=(t－1)^3　をt で微分する場合を考えます・・・つまり、dz/dt ですね(～～;)
右辺を展開して微分してもいいですが、これは面倒ですよね・・・そこで、”お決まり”の技を使います・・・そう、置換です(^^@)
x=t－1　とすると、dx/dt=1
また、dz/dx=3x^2
したがって、dz/dt=dz/dx・dx/dt=3(t－1)^2　ですね(((－＿－ )
さらに、面倒な式を考えて、z=(t－1)^3 + (5t－3)^5 をt で微分してみましょう(*・ε・*) 
これは、もちろん　(t－1)^3  と(5t－3)^5  を別々にt で微分して、その結果を足したものが dz/dt ですね・・・当たりまですね(^^;)
(t－1)^3　を微分した結果は分かっていますので、(5t－3)^5  を微分しますね(・ー・)
y=5t－3　と置いて、dy/dt=5　∴d{(5t－3)^5}/dt=d(y^5)/dt=d(y^5)/dy・dy/dt=5y^4・5=25y^4=25(5t－3)^4　ですね(^^A)
まあ、この最後の式はどーでもいいんですけどねΨ(｀∀´)Ψ
つまり、z は　z=x^3 + y^5　になりますので、
dz/dt=d(x^3)/dx・dx/dt + d(y^5)/dy・dy/dt  って書けますね(◎◎！)
偏微分の書き方をすると、
d(x^3)/dx=∂z/∂x　d(y^5)/dy=∂z/∂y　ですね・・・つまり、　dz/dt=∂z/∂x・dx/dt + ∂z/∂y・dy/dt　ですΣ(・ω´・ノ)ノ

これが”たとえ話”である理由は、じゃあz=x√y だったらどーなんよ！と言われたらおしまいだから”たとえ話”なんですね(・o・)ノ 
でも、これで、イメージをつかんでくれたら良いなぁ～(^O^)

tknakamuri · Answer

gradが最大傾斜方向を向くというのは一旦忘れた方がいい。
「ある地点の」gradはx方向のfの傾斜とy方向のfの傾斜をベクトルの形で表したもの。
これ自体は最大傾斜の方向を意図して作られたものでは
無いです。

2方向の傾斜が解れば、「ある地点の」任意方向の傾斜が計算できます。
gradが最大傾斜を向くのは、おまけみたいなものですね。

ナッキーナッキー · Answer

Ｎｏ３です(^^)
まだ生きてたよぉ～！(^^)ﾉ”

山のてっぺんなら grad は０になりますね・・・微分の極小・極大の性質を思い出すと分かると思います(´ω｀*)

で、何で最大傾斜の方向なのか？ですね(－＿－)
地図の等高線を思い出してみて下さいね(´∀｀)
でも、等高線をスカスカに描いてしまうと、ハテ？ってなりますので、細かぁ～くびっしりと描かれた等高線を考えてみます(～～;)
この一部を拡大して見ると、等高線が平行に並んでいるように見えると思います(◎◎！)
と言う事は、等高線に垂直な方向が最大傾斜の方向になりますね(・∀・)
ここまで確認しておいて、z=f(x,y)=c　c:定数　としておくと等高線に相当する曲線が描けます(・ー・)
位置ベクトルr=xi + yj　i,jはx,yの単位ベクトル　とします
パラメーターをt として、x=x(t),y=y(t)　としましょう・・・ようするに、曲線の長さsをパラメーターとして採ればいいですね・・・(・ε・´)
すると、曲線f(x,y)=c に対するdr/dt は、この曲線の接線方向を向きます（勉強してますよね？）・・・rはベクトルです
dz/dt = ∂f/∂x・dx/dt + ∂f/∂y・dy/dt =0　となりますが、これを書き直しますね(￣～￣；)
dz/dt=grad z ・dr/dt=(∂f/∂x・i + ∂f/∂y・j)・(dx/dt・i + dy/dt・j)=0　ですね(^^;)
つまり、grad z はf(x,y)=c の接線に直交する・・・したがって、grad z は最大傾斜の方向を向いている・・・って事ですΣ(￣◇￣；)

教科書・参考書では gradΦ=∇=i・∂Φ/∂x + j・∂Φ/∂y + k・∂Φ/∂z　で、説明があると思いますので、それを２次元にすれば分かると思いますよ(^^)

ナッキーナッキー · Answer

grad は「勾配」と呼ばれるので、誤解があるように思えます(^^;)
grad で求まる物は、最も変化が激しい方向とその値なんですねΣ(・ω´・ノ)ノ　
坂道の場合は最大傾斜の方向とその値が求まるわけです・・・その意味では勾配は「傾き」ですね(´∀｀)
質問では　z=f(x,y)　となっていますので、具体例で説明しますね(^^)
z=x+y　とします(－＿－)
これに等高線を描いてみるか、頭の中で想像してみて下さい(・∀・)
これを描くには　x+y=c　(c:定数)　として、cに色々な値を入れみればいいですね(´ω｀*)
すると、y=－x+c　となりますので、傾き－１の曲線群（直線群？）が描けるはずです＿Φ(^^ )
この曲線群に直交する方向が最大傾斜の方向で、傾斜角θは tanθ＝√２ となりますね(*ﾟｰﾟ)
（曲線群に直交する方向は、直線y=x の方向ですね）
これを grad で求めてみます(・ー・)
grad z=i +j　i,j はそれぞれx,yの単位ベクトル
となり、これの大きさは√２で、先ほどの結果と一致しますね(^O^)
注意して欲しい事は、grad で求まる方向は、坂道の場合では、坂に沿った方向ではなく、どの向きにに登れば傾斜が最大になるかが出てくるって事ですね(　＾∀＾)

・・・う～ん、ここまで書いておきながら、もしかして質問の意味と違った事を説明しているかも知れません(・・;)
もし違ったらゴメンね<(_ _)>

tknakamuri · Answer

普通の常微分 dy/dx もy方向のベクトルじゃないよね。

gradはxやy方向のZの傾斜。

horahukisann2017 · Answer

z = f(x, y) なら、z が x と y の関数なのではないですか？

∂f/∂x は、ある y を一定として、x の増分に対する f の増分であって、これが、傾きなのではないですか？

立体の地形図のようなものを想像してみて、ある緯度をきめて(y: const)、経度(x)の変化に対する高さ(z)の変化(傾き)はイメージできないでしょうか。

勾配ベクトルの成分について z=f(x,y)で考えると grad f=(∂f/∂x,∂f/∂y)でベ

Ｎｏ４です(^^)

gradが最大傾斜方向を向くというのは一旦忘れた方がいい。

Ｎｏ３です(^^)

grad は「勾配」と呼ばれるので、誤解があるように思えます(^^;)

普通の常微分 dy/dx もy方向のベクトルじゃないよね。

z = f(x, y) なら、z が x と y の関数なのではないですか？

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