三角関数の合成の問題です。

これ分かる方、解き方教えてください。

お願いしますm(_ _)m

No.5 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/07/27 22:05

これは失敬。

最初に投稿したものですが、
α=120°でしたね。
よって、結局2x+30°=90°
になり、
x=30°です。
すいませんでした。
見直しすべきでした。

No.4 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/07/27 18:12

f(x)=√3cos(2x－90°)

＝√3(cos2xcos90°+sin2xsin90°)
＝√3(cos2x×0+sin2x×1)
＝√3sin2x

g(x)=－sin(2x－90°)
＝－(sin2xcos90°－cos2xsin90°)
＝－(sin2x×0－cos2x×1)
＝cos2x

だから、

f(x)+g(x)
＝√3sin2x+cos2x
＝2sin(2x+30°)

0°≦x≦90°　のとき
30°≦2x+30°≦210°
だから、
f(x)+g(x) は、
2x+30°＝90°　つまり　x＝30°　のとき
最大値　２　をとる。

No.3 回答者： 20170130 回答日時： 2017/07/27 18:01

No.1様で完璧かもしれませんが、ちょっと気になる部分があるので

ここで、sinα=√3/2,cosα=-1/2
となるαを探します。
すると、
α=150°となります。

検算した方がいいかもしれません。

No.2 回答者： Kopiruaku 回答日時： 2017/07/27 17:23

2x+90°=A…①

と置いて普通に合成すれば良し。

この時、xの範囲をAの範囲に変えること。
最大値はAのままで出ます。が、その時のxの値は①の式で算出できますよ。

No.1 回答者： deutschgoo 回答日時： 2017/07/27 17:18

最初に、

見やすくなるように2x-90°=θとおきます。
まず、
f(x)とg(x)のcos,sinの係数は
√3,-1ですよね。
これらの２乗の和
つまり、3+1
に√をつけると√4=2となります。
よって、
f(x)+g(x)
=√3cosθ-sinθ
さっき出てきた2でくくります。
f(x)+g(x)
=√3cosθ-sinθ
=2｛(√3/2)cosθ+(-1/2)sinθ｝
ここで、sinα=√3/2,cosα=-1/2
となるαを探します。
すると、
α=150°となります。
よって、
f(x)+g(x)
=√3cosθ-sinθ
=2｛(√3/2)cosθ+(-1/2)sinθ｝
=2(sin150°cosθ+cos150°sin)
ここで、
加法定理から
sin(150°+θ)=sin150°cosθ+cos150°sin
ですよね。
三角関数の合成とは加法定理の逆なのです。
よって、
f(x)+g(x)
=√3cosθ-sinθ
=2｛(√3/2)cosθ+(-1/2)sinθ｝
=2(sin150°cosθ+cos150°sin)
=2sin(150°+θ)
θ=2x-90°
を代入すると、
f(x)+g(x)=2sin(150°+θ)=2sin(2x+60°)
ここで、
0≦x≦90°のとき、
60°≦2x+60°≦240°
よって、-√3/2≦sin(2x+60°)≦1
よって、
f(x)+g(x)=2sin(2x+60°)
はsin(2x+60°)=1
すなわち、2x+60°=90°
すなわち、x=15°のとき、
最大値2をとる。
勉強頑張ってくださいね。