α>0とする。関数f(x)=|x|^αが点x=0で微分可能であるための条件を求めよ。 と言う問題の答

α>0とする。関数f(x)=|x|^αが点x=0で微分可能であるための条件を求めよ。

と言う問題の答えしか解答がないので僕の解答が大丈夫かどうか見てください。

|x|=x (x≧0のとき)
-x (x<0のとき)

[1]x≧0のとき
lim[x→0+0]{f(x)-f(0)}/x=lim[x→0+0]x^(α-1)・・＊
(i)α=1のとき
＊は1である
(ii)0<α<1のとき
＊は∞
よって、このときx=0で右微分不可能
(iii)α>1のとき
＊は0

[2]x<0のとき
lim[x→0-0]{f(x)-f(0)}/x=lim[x→0-0](-1)^αx^(α-1)
(i)α=1のとき
＊は-1である
(ii)0<α<1のとき
＊は(-1)^αが実数ではなくなる。
よって、このときx=0で左微分不可能
(iii)α>1のとき
＊は0

以上[1][2]より
f'+(0)、f'-(0)が存在し、
f'+(0)=f'-(0)
となるとき、f(x)はx=0で微分可能となるので、求めるαの条件は
α>1

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/07/30 16:03

x<0のときの(ii)0<α<1の場合が問題。

たとえばα=1/3の場合はどうでしょうか。(-1)^(1/3)=-1となりますね。ほとんどの場合実数でないのは確かですが全てに当てはまるわけではありません。
絶対値を取ってx≧1の場合と同様に発散するとしてしまえばよいでしょう。(ただ、この場合の発散は収束しないというだけのことであり+∞,-∞のいずれかになるというわけではないのでご注意ください。)

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2017/07/30 17:15

f(x) は偶関数 f(x) = f(-x) なんですから、その導関数f'(x)は奇関数 f'(x) = -f'(-x) 。

だから f'(0)が存在するのならf'(0)=0でなくちゃならん、ってのは自明ですし、x≧0 について考えりゃ十分。結局、「(x^α)' がx→+0で0に収束する必要十分条件は？」という問題です。

ご質問にある[2]は勘違いなさっているんじゃないかと思う。|x^α|ではなく、|x|^αですよね？