x＋2y＋3z＝xyzを満たす自然数x、y、zの組をすべて求めよ。 教えてください！

x＋2y＋3z＝xyzを満たす自然数x、y、zの組をすべて求めよ。 教えてください！

No.2 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/09/12 16:22

x +2y +3z =xyz より

x +2y =xyz-3z =(xy-3)z
ここで xy が3以下の数値だった場合、
(右辺)≦0 になってしまうので不適合。
ゆえに、xy≧4 である必要がある。

また、(右辺)が最小値を取るときが xy=4 で、
(左辺)が最大になる組み合わせは (x,y)=(1,4) となるから
このとき (左辺)=1+2×4=9
これが (右辺)=(4-3)z =z 以上の値でないと、xy≧4を満たす解がなくなるので
zは9以下でないといけない。

　# 仮にz=10とすると、x+2y+3z=xyz は x+2y+30=10xy となり
　# xy≧4 を満たす自然数x,yは存在しなくなる。

すなわち、
自然数x,y,z において
x +2y +3z =xyz が成り立つとき
zは 1≦z≦9 を満たす自然数ということになる。

これを踏まえて、
x +2y +3z =xyz
x(1-zy) +2y +3z=0
zx(1-zy) +2zy +3z^2=0
zx(1-zy) +2(zy-1) +2 +3z^2=0
(zx-2)(1-zy) +2 +3z^2=0
(zx-2)(1-zy) =-3z^2 -2
(zx-2)(zy-1) =3z^2 +2
という式に変形できるので、zの範囲で
そのときの式が成り立つ自然数x,yを調べてゆけばよい。

z=1 のとき
(x-2)(y-1) =3 +2 =5 =1×5
よって、(x,y)=(3,6),(7,2)

z=2 のとき
(2x-2)(2y-1) =3×4 +2 =14 =1×14 =2×7
よって、(x,y)=(8,1),(2,4)

z=3 のとき
(3x-2)(3y-1) =3×9 +2 =29 =1×29
よって、(x,y)=(1,10)

z=4 のとき
(4x-2)(4y-1) =3×16 +2 =50 =1×50 =2×25 =5×10
これを満たすx,yは存在しない。

z=5 のとき
(5x-2)(5y-1) =3×25 +2 =77 =1×77 =7×11
これを満たすx,yは存在しない。

z=6 のとき
(6x-2)(6y-1) =3×36 +2 =110 =1×110 =2×55 =5×22 =10×11
よって、(x,y)=(4,1),(2,2)

z=7 のとき
(7x-2)(7y-1) =3×49 +2 =149 =1×149
これを満たすx,yは存在しない。

z=8 のとき
(8x-2)(8y-1) =3×64 +2 =194 =1×194 =2×97
これを満たすx,yは存在しない。

z=9 のとき
(9x-2)(9y-1) =3×81 +2 =245 =1×245 =5×49 =7×35
よって、(x,y)=(1,4)

したがって、これらをまとめると、
(x,y,z)=
(3,6,1),(7,2,1),(8,1,2),(2,4,2),(1,10,3),(4,1,6),(2,2,6),(1,4,9)
の8通りあることがわかる。


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zの範囲がわかっても、結局は一つ一つ確認しないといけませんでした。
もっと効率の良い解の求め方があるのかもしれませんね。

No.1 回答者： syotao 回答日時： 2017/09/11 18:10

（ｘ、ｙ、ｚ）

＝(1、4、9)(4、1、6)(2、2、6)(8、1、2)(7、2、1)(3、6、1)(1、10、3)
ほかにある？