微分積分の文章問題

挿入図は底面が1辺10㎝の正方形、高さ15㎝の角錐の容器がある。　これに水を注ぎ、水面が毎秒
3㎝の速さで上昇していくようにするには、注ぐ水の量は、どのような速さでなければならないか？

注ぎ始めてからの時間をｔ秒として答えよ。

質問者からの補足コメント

• 

  挿入図を貼り付けずに投稿してしまいました。 ごめんなさい。

    補足日時：2017/10/07 19:54

No.1 回答者： diff3356 回答日時： 2017/10/07 18:23

高さｈのときの体積Ｖは、

V=(1/3)*10^2*15*{1 - ((15-h)/15)^3}=500*{1 - ((15-h)/15)^3}. (0≦h≦15)
ここで、h=3t ですから、
V(t)=500*{1 - ((5-t)/5)^3}
=4*{5^3 - (5-t)^3}, (0≦t≦5).
よって、
dV/dt=4*(-3)*(5-t)^2*(-1)=12*(5-t)^2. (cm^3/sec)

この回答へのお礼

早い回答で嬉しいです。 有難うございます。

*　高さｈのときの体積Ｖは、
V=(1/3)*10^2*15*{1 - ((15-h)/15)^3}=500*{1 - ((15-h)/15)^3}. (0≦h≦15)
このhの範囲の制限は思いつきませんでした。
ここで、h=3t ですから、
*V(t)=500*{1 - ((5-t)/5)^3} …… この式も思いつきませんでした。
=4*{5^3 - (5-t)^3}, (0≦t≦5).
よって、
*dV/dt=4*(-3)*(5-t)^2*(-1)=12*(5-t)^2. (cm^3/sec) …… 合成関数の微分はつかわずに出るんですね！

勉強になりました。 有難うございました。

お礼日時：2017/10/07 19:49