ｉh'∂t ψ(x,t)＝Ｈψ(x,t) なので、[t,ｉh'∂t]=-ｉh'=[t, H]ですか？

シュレーディンガ表示では、ハミルトニアンをＨとすると
（ｉh'∂t ーＨ）ψ(x,t)＝０　が、常に成り立ちます（成り立つよう時間発展する）
ここで　ｉh'∂t ＝Ｈ’と置くと
[t, Ｈ’]ψ(x,t)=-ｉh'ψ(x,t)
です。
（ｉh'∂t ーＨ）ψ(x,t)＝０　ならば　ｉh'∂t ＝Ｈ　のはずなので
[t, H]ψ(x,t)も上と同じで　=-ｉh'ψ(x,t)　と思うのですが、
例えば　自由粒子で計算すると　Ｈ＝p^2/2m　なので
[t, H]Ψ(x,t)＝ｔＨΨ(x,t)ーＨｔΨ(x,t)＝ｔＨΨ(x,t)ーｔＨΨ(x,t)ーΨ(x,t)Ｈｔ
＝０
で、上と合いません。

どう考えればいいでしょうか。
（ｉh'∂t ーＨ）ψ(x,t)＝０　ならば　ｉh'∂t ＝Ｈ　に何故ならないのですか）

質問者からの補足コメント

• 

  参考までに　[x, -ih'∂x]= ih'の計算を書きます。
  -ih'∂x＝Ｐ　として
  [x, P]Ψ(x)= xPΨ(x)ーPxΨ(x)
  　　x は演算子であるが、実質は「変数の性質」しかないので
  ＝x PΨ(x)ー(ｘＰΨ(x)+Ψ(x)P x)
  = - Ψ(x)P x
  =ｉh'Ψ(x)
  
  [t, ｉh'∂t] の計算も同様と考えます。

    補足日時：2017/11/13 18:16

• 

  [t, ｉh'∂t]≠０　で、
  [t, H]=0　であることは、はわかりました。ありがとうございます。
  でも、
  （ｉh'∂t - H)Ψ(x,t)=0
  であれば、ｉh'∂t ＝ H　なのに
  [t, ｉh'∂t]の計算と[t, H]の計算が一致しないのがわかりません。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/11/13 18:41

No.4 ベストアンサー 回答者： eatern27 回答日時： 2017/11/13 23:58

>（ｉh'∂t ーＨ）ψ(x,t)＝０　ならば　ｉh'∂t ＝Ｈ　のはず

と思った理由がよくわからないですが、

行列Aに対して、方程式Ax=0の解たち【だけ】に注目する事にすれば、当然Ax=0がいつも成り立ちます。この事はA=0である事を意味するという事を言っているのでしょうか？

この回答へのお礼

あっ、方程式なのに恒等式のように思い違いしていました。
これで、疑問が解けました。
ありがとうございました。

お礼日時：2017/11/14 09:58

No.5 回答者： eatern27 回答日時： 2017/11/14 00:03

∂tそのものは演算子ではないので、ｉh'∂t ＝Ｈとはなりようがない、という言い方もできるかな。

No.3 回答者： alwen25 回答日時： 2017/11/13 19:16

＞この計算のやり方で行くなら

[x, - ih'∂x] も　-ih'x ∂ｘ+ih'　になってしまわないのですか？

なりますよ。交換関係以前に偏微分の意味が分かっていないのではないでしょうか。

この回答へのお礼

えっ、[x, - ih'∂x] ＝ｉh'　ですよ。
量子力学の教科書なら、どの本にも書いてあると思います。
例えば　
　清水明「新版　量子論の基礎」ｐ119
　ランダウ・リフシッツ「量子力学」ｐ70
　Wikipedia　交換関係 (量子力学)　←　これはちょっと曖昧ですが　P＝- ih'∂x ならば
　　https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E6%8F%9B …

お礼日時：2017/11/13 20:30

No.2 回答者： alwen25 回答日時： 2017/11/13 01:01

例えば、2をかける（2倍する）とい演算子とxで微分するという演算子を考えます。

これは、順番を変えても同じなので、この２つの演算子は可換（交換関係は0）です。
可換ではない例を演算子で書くのは面倒なので行列で説明します。
A,Bを積が定義できる行列とします。高校の数学でやったと思いますが、
一般的にはAB≠BAです。これが交換関係が0でないということです。
実際に量子力学でも行列は良く使います。

書き忘れていましたが、この場合重要なのは、Hにtで偏微分するという要素があるどうかです。
[t,H']=ih't∂t-ih'です。(ih't∂tが残ることに注意）
Hの方は、H＝p^2/2mを正準量子化なのでHには座標で偏微分する要素のみで時間で偏微分する要素がないので[t,H]=0となります。
どの変数で偏微分しているのか考えてください。

この回答へのお礼

＞　[t,H']=ih't ∂t-ih'です。(ih't∂tが残る）
がわかりません。
たぶん、
[t,H']Ψ＝tH'Ψ - H'tΨ= ((t) H'Ψ+Ψt H') - (ΨH't+(t) H'Ψ)
＝ Ψ（t H'ーH't)　としているように思えますが、
この計算のやり方で行くなら
[x, - ih'∂x] も　-ih'x ∂ｘ+ih'　になってしまわないのですか？

僕の計算間違いだったら　お詫びします。

お礼日時：2017/11/13 17:54

No.1 回答者： alwen25 回答日時： 2017/11/12 22:17

[t,H']の意味は分かりますか。

演算子の交換関係です。
[t,H']=tH'-H'tですが、tは実数なので0になります。同様に[t,H]=0なので
[t,H]ψ(x,t)=0となりますが、そもそも演算子と実数の交換関係を考えることに意味がないと思います。
または、tが時間を表す実数ではなく微分演算子などということでしょうか。

この回答へのお礼

すいません。「tは実数なので0になる」がわかりません。
ｔはパラメータ変数　ではないのですか？
変数だったら　[t,H']=tH'-H't＝ -ｉh'∂t ｔ＝ -ih' ですよね。
僕の誤解だとは思いますが、
[x, -ih'∂x]についても　ｘは演算子ですが　実数とも言えるのでは？

お礼日時：2017/11/12 23:03