実数x,yがx^2+y^2=1を満たして変化するとき、z=y^2+2xの最大値は？ こちらの解答を詳

実数x,yがx^2+y^2=1を満たして変化するとき、z=y^2+2xの最大値は？

こちらの解答を詳しく教えて頂けませんか？

質問者からの補足コメント

• 最小値はx=-1のとき、最小値-2でしょうか？

    補足日時：2017/12/08 15:04

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2017/12/02 23:39

zがxとyの式で表されていますが、一般的に2変数関数の最大最小を求めることは容易ではなく、1変数に置き換えられるならば置き換えるのが普通です。

y^2=1－x^2なので、z=y^2＋2x=1－x^2－2x=－x^2＋2x＋1となります。

ここで注意なのは、x^2＋y^2=1という条件式があることです。条件式がある場合は、定義域も考えてあげましょう。

y^2=1－x^2で、y^2≧0より、1－x^2≧0なので、－1≦x≦1となります。

さて、最後にz=－x^2＋2x＋1(－1≦x≦1)の最小値と最大値ですが、軸はx=1であることと、上凸であることに着目すると、最大値はx=1の時に2となります。

この回答へのお礼

詳しく教えて頂き、ありがとうございます！
定義域の考え方がよく分かりません…。どうして-1≦x≦1になるのでしょうか？

お礼日時：2017/12/04 00:24

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2017/12/03 01:28

解き方はこちらと同じですよ。

ただし、この問題では「最大値」なので、「放物線の頂点」が定義域の範囲内であることから「頂点」で決まりです。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10107242.html

z=y^2+2x
に
　y^2 = 1 - x^2 （-1≦x≦1)
を代入して

　z = -x^2 + 2x + 1
　　= -(x - 1)^2 + 2

つまり
・上に凸の放物線
・頂点は (1, 2)

-1≦x≦1 より
x=1 のとき 最大値 z=2

こちらも、グラフを書いてみてください。

No.3 回答者： mathstudent 回答日時： 2017/12/08 15:11

最小値に関しては正解です。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2017/12/08 15:28

No.2です。

#1 さんへの「お礼」に書かれたこと：
＞定義域の考え方がよく分かりません…。どうして-1≦x≦1になるのでしょうか？

x^2 + y^2 = 1　　　①
移項して
　y^2 = 1 - x^2　　②
ですから、x, y が実数なら2乗すれば必ず正なので
　y^2 ≧ 0
従って②より
　1 - x^2 ≧ 0
→　x^2 ≦ 1
よって
　　-1 ≦ x ≦ 1
です。

①をグラフにすれば「原点を中心にした、半径１の円」なので、
　　-1 ≦ x ≦ 1
　　-1 ≦ y ≦ 1
であることが分かると思います。

「補足」に書かれたこと：
＞最小値はx=-1のとき、最小値-2でしょうか？

No.2に書いた
　z = -x^2 + 2x + 1
　　= -(x - 1)^2 + 2
の式を x-z グラフに書いて、-1 ≦ x ≦ 1 の範囲を書き入れてみれば一目瞭然ですね。

おっしゃるとおり、
　x = -1
のとき
　z = -( -1 - 1 )^2 + 2 = -2
で最小になります。