任意階数の線形微分方程式を一階の連立微分方程式に変換する方法

任意階数の線形微分方程式は一階の連立微分方程式に変換出来ると聞きましたが、詳しく知りたいです。
この話題は数学のどの辺りに出てきますか。
偏微分方程式の問題ですか、常微分方程式の問題ですか。
数学ではなくコンピュータによる近似計算法の類ですか。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2018/01/08 16:23

a ((∂/∂x)^2)y + b (∂/∂x)(∂/∂t)y + c ((∂/∂t)^2)y + d (∂/∂x)y + e (∂/∂t)y + f y + g = 0　　(a〜gは既知の、x,tの関数）

を例にとりますと、たとえば
　　p = (a(∂/∂x) + b(∂/∂t) +d)y
　　q = (c(∂/∂t) + e)y
とおけば
　　(∂/∂x)p + (∂/∂t)q + g = 0
となって、連立一階微分方程式になる。他にもやりようはあって、たとえば
　　u = (∂/∂x)y
　　v = (∂/∂t)y
とおいて
　　a (∂/∂x)u + b (∂/∂x)v + c (∂/∂t)v + d u + e v + f y + g = 0
とやってもいい。これらは、式をばらして個々の式を単純にする代わりに従属変数を増やしちゃったわけです。（一体何のために、どうばらすか、は個別の事情（a〜gが具体的にどうなってるかとか、ただ解くのが目的なのではない、など）におおいに依ります。）
　「xで微分する」ということを、「微分演算子(∂/∂x)をかけ算する」のだ、と思って扱うと、これらの操作は当たり前の「式の変形」に見えますでしょう。こういうことが出来るのは、微分自身が線形演算だからです。

この回答へのお礼

ご回答有難うございます。
原理はだいたい分かりました。
確認ですが上の例で、a,b,c,d,e,f,gは定数係数に限らず、x,tの関数でよいのですね。
するとこの方法を用いれば、10階の線形偏微分方程式も解けるのでしょうか。
この解法はどのような名称で呼ばれていますか。
詳しい解説のある本、リンク先などを教えて下さい。

お礼日時：2018/01/08 17:56