座標平面において、曲線C:y=logxの原点を通る接戦線をlとする。ただし、logは自然対数とする。

座標平面において、曲線C:y=logxの原点を通る接戦線をlとする。ただし、logは自然対数とする。
（1）lの方程式を求めよ。
（2）曲線C、直線lおよびx軸で囲まれた図形Sの面積を求めよ。
（3）（2）の図形Sをy軸のまわりに1回転だけしてできる立体の体積を求めよ。

logの座標が苦手で（1）の問題から理解できませんでした。できたら、3問全て詳しく教えていだだきたいです。

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2018/01/12 21:18

接戦線とは, 接線のことかな.

(1) 接点の座標を (a, log a) とすると, (log a)/a = 1/a より, a = e
よって, l の方程式は y = x/e

(2) log x の原始函数, 暗記していますか.
私は覚えていないし, 部分積分するのも面倒なので, e^y - ey を y = 0 から y = 1 まで積分して S の面積を求めます.

(3) これは（これも）易しい.
もう, 自分で解けますよね.

No.1 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/01/12 15:41

(1)

y=logxより、y'=1/xなので、接点を(t,logt)とすると、y－logt=(1/t)(x－t)と接線の方程式を置ける。

これが(0,0)を通るので、－logt=－1となるので、t=eとなる。接点は(e,1)。

よって、y－1=(1/e)(x－e)より、y=(1/e)xが正解。

(2)

S=∫[0→e]{(1/e)x}dx－∫[1→e]{logx}dx=(e/2)－1

(3)はとりあえず自分でやってください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2018/01/12 15:52