dy/dxーy^2+ysinxーcosx＝0 (y＝sinxは特殊解) の微分方程式の解き方がわかり

dy/dxーy^2+ysinxーcosx＝0
(y＝sinxは特殊解)
の微分方程式の解き方がわかりません。
誰か丁寧に教えてもらえたら嬉しいです。

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/01/30 18:19

dy/dx－y^2+ysinx－cosx＝0＿＿式(1)

No.3の回答の通りに計算する。
y'+X(x)y^2+X1(x)y+X2(x)＝0
の形をした微分方程式をリッカチの微分方程式と呼ぶ。(Wikipedia)
特解が得られていないと、一般には解くのが難しい。
y'=cosx - sinx*y + y^2
y=sinx + z(x) と置くと、y'=cosx+z' だから＿＿式(2)
z'= - sinx*(sinx + z)+ (sinx + z)^2
z'= sinx* z+ z^2
u=1/z と置くと、u'=z'/z^2であるから＿＿式(3)
u' -sinx*u =1＿＿式(4)
斉次方程式を解く
u' -sinx*u =0→u'/u＝sinx→∫(u'/u)du＝∫sinxdx
logu=－cosx+c
u=Cexp(－cosx)＿Cは任意定数＿＿式(5)
Cをxの関数C(x)と考える(定数変化法という)
u' =C' exp(－cosx)+ C exp(－cosx)(sinx) ＿＿式(6)
式(4)に式(5)と式(6)を入れると
C' exp(－cosx) =1
C' = exp(cosx)＿＿式(4)。
C=∫exp(cosx)dx+積分定数a
これを式(5)に入れると
u=(∫exp(cosx)dx+ a)exp(－cosx)
これを式(3)式(2)に入れると
y= sinx + z＝sinx + 1/u＝sinx + exp(－cosx)/(∫exp(cosx)dx+ a) ＿＿式(7)
これ以上は簡単にならない。

No.3 回答者： drmuraberg 回答日時： 2018/01/24 22:09

式をRiccatiの微分方程式の形に整理する。

y'=cosx - sinx*y + y^2

y=sinx + z(x) と置くと、y'=cosx+z' だから

z'=sinx*z + z^2
つまり
z' -sinx*z = z^2
のBernoulliの微分方程式となる。

両辺をz^2で割ると
z'/z^2 - sinx/z =1

u=1/z と置くと、u'=z'/z^2であるから
u' -sinx*u =1

これを、u' -sinx*u =０と置いて通常の1階微分方程式の
解法で解く。

https://www.oit.ac.jp/is/~shinkai/lecture/diffeq …

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2018/01/24 21:42

ANo.1・・!

ちとミスった・・！
一旦回答保留　m(_ _)m

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2018/01/24 21:26

dy/dx - y² + ysinx - cosx＝0

log|y－sinx|=y²/2+C　　(C：積分常数)