大学入試用 数学教えてください 微分後の式で大小がわかっている時、微分前の式も同じ関係になるでしょう

大学入試用 数学教えてください
微分後の式で大小がわかっている時、微分前の式も同じ関係になるでしょうか？？
→ f'(x)>g'(x)のとき、f(x)>g(x)が成立するのかということです。

赤本の解説だとわざわざ積分してるのですが途中式もないので全く意味がわかりません。
これは必ずしも成立するわけじゃないからやってるのか、証明のためにわざわざ積分しているのかどちらでしょうか？？

質問者からの補足コメント

• 不明点は、この赤枠が成立するにはどうしたらいいのか、というところです。
  必ずしも成立しないということ、答えていただきありがとうございます。
  
  元々の問題自体は、h(x) ○ g(x)で○部分に不等号あるいは等号を埋めるものです。

  
    補足日時：2018/02/14 02:54

No.8 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/02/18 13:30

No.7の補足

スタート地点が同じ０ｍから出発した時は、常に速く走った人は、常にリードを保つことができる。本の著者は、これは説明する必要のないほど簡単なことだと思った。
この問題の教訓：１、簡単なことでも、記号が違ったりしていると、分かりにくい。
導関数の意味などを、基本と例題でよく理解しておく。
２、多くの人は、問題の全体を読まないで回答する。スタート地点が同じという条件を読まないで、大きいハンディがあれば、速く走っても勝てないという不要な議論をする。試験問題は全部読まないと正しい解答はできない。

No.7 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/02/18 12:59

この問題ではｘの区間は０＜ｘ＜π/2と指定されていて

ｘ＝０の時、g(ｘ)＝ｈ(ｘ)＝０がわかっている。
この条件があるので、ｈ' (ｘ)＞g' (ｘ)からｈ(ｘ)＞g(ｘ)は当然成り立つ。
No.1から6の回答は、この条件を見落として、不要な議論をしている。

No.6 回答者： tekcycle 回答日時： 2018/02/16 02:54

ｘ＝０のときのｈ(ｘ)とｇ(ｘ)の値がどうなっているのか。

もし、ｈ(０)≧ｇ(０)で、且つ、ｈ'(ｘ)＞ｇ'(ｘ)であれば、ｈ(ｘ)は、原点より、ｇ(ｘ)に比べて大きい値から正に大きな傾きを常に保ってｘ方向に進行するから、ｇ(ｘ)に追い抜かれることは無い、でしょうね。
桐生君が既に30ｍ地点を走っているのに、スタート地点のあなたがゴールまでに桐生君を追い抜けるはずが無いですよね。
ゴールまでに桐生君を追い抜けるとしたら、あなたの速度が桐生君を上回らなければならないのは最低条件でしょう。それでも追い抜けるかどうかは判らない。
でも、桐生君の速度を常に下回っていれば、既に先行している桐生君を追い抜けるはずは無いでしょう。
同時に同地点からスタートしたとしてもそうです。
ちなみに、速度というのは時間と距離のグラフにおける傾きのこと、微分した物のことです。

私はそういうわけで、ある意味筋の良い解答だと思います。
ただ、ｈ(０)≧ｇ(０)が欠落しているのであれば、誤答、不正解＋部分点、または大減点ですが。

この回答へのお礼

赤本の解答解説にh(0)とg(0)について書かれていたんですがなんでこれが関係あるのかすらわからなかったのでやっと理解できました！
ありがとうございます！

お礼日時：2018/02/16 12:22

No.5 回答者： kacchann 回答日時： 2018/02/16 02:37

F(x)=h(x)-g(x)とすれば

「a<x<bで常にF'(x)>0(つまり増加関数)」がいえたのなら、
あとは、
たとえばこの問題であればF(a)＝0であること示せば、
「つねにF(x)>0」がいえます。(グラフ書いてみよ)

この手の「微分を使って不等式を証明する」問題は
入試標準問題であり、頻出です。
参考書例題にもあるかもしれない。
何問も演習しておきましょう。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/02/14 03:23

ん? その g(x) と h(x) で h(x) > g(x) を示すってこと? もしそうなら, そもそも微分するのが悪手だと思うよ.

0 < ｔ < ｘ で t sin t < x sin x なんだから....

この回答へのお礼

積分の式から0<t<xになるのでtsint<xsinxということでしょうか…

ですが比べているのはtsintの積分とx^2sinxなんですけども、積分しても大小変わらないということでしょうか…？

お礼日時：2018/02/14 03:30

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/02/14 02:29

たとえば

f(x) = 2/(1+e^x), g(x) = -2/(1+e^x)
だと全ての x で f(x) > g(x) かつ f'(x) < g'(x) なんだよね.

No.2 回答者： tekcycle 回答日時： 2018/02/14 01:53

ｙ＝５ｘ－３

ｙ＝ｘ＋６
グラフの左から、両直線がぶつかるまでの間は、上式＜下式ですが、微分すれば逆転しますよね。
微分、というのはその地点での傾きの大きさ、でしょう。
その意味合いから、落ち着いて考え直し、理解を深めてください。

しかし、
ｙ＝５ｘ
ｙ＝ｘ
で、原点より右側なら、微分しても積分してもしなくても、上式＞下式でしょう。

というわけで、他に条件があるのでは。

質問するときは、極面だけ質問したってダメですよ。
問題、解答、全体像をきちんと示さないと。

No.1 回答者： ごーいち 回答日時： 2018/02/14 01:49

下の図で0からαにかけて、二次関数(f(x)とする)の導関数(＝接線の傾き)は－→＋と変化している一方、一次関数(g(x)とする)の導関数(const.)は＋のままです。

しかしグラフで見ると、二つの関数の大小は0<x<αでf(x)<g(x)となっています。
よって成り立ちません。