No.5ベストアンサー
- 回答日時:
空間座標で考えるというのは非常に有効だと思うのですが、そんなに難しく考えなくても、以下のように平凡に行けるのでは?
x+2y+3z=6より、x=-2y-3z+6となり、これをx^2+4y^2+9z^2に代入すると、
(-2y-3z+6)^2+4y^2+9z^2
=8y^2+12(z-2)y+18z^2-36z+36 ←yの2次式に変形
=8{y^2+(3/2)(z-2)y}+18z^2-36z+36 ←yで平方完成したい
=8{ (y+(3/4)(z-2))^2-(9/16)(z-2)^2 }+18z^2-36z+36
=8{y+(3/4)(z-2)}^2 + (27/2)z^2-18z+18 ←yで平方完成した
=8{y+(3/4)(z-2)}^2 + (27/2)(z-2/3)^2 +12 ←zで平方完成した
となるので、これが最小になるのは、
y+(3/4)(z-2)=0
z-2/3=0
のとき(最小値は12)であるから、
y=1
z=2/3
のときで、そのとき、x=2である。
よって、最小値12 (x=2, y=1, z=2/3のとき)
No.4
- 回答日時:
x=X,2y=Y,3z=Z とおくと
X+Y+Z=6(これは空間における平面)のとき
X^2+Y^2+Z^2=r^2(これは球)
のr^2の最小値を求めよ、となって
接するときが最小。
空間図形が分かっていればこれでいける。
別解 コーシーシュワルツの不等式
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)≧(ax+by+cz)^2
においてa=b=c=1,x=X,y=2Y,z=3Zと置く。
等号は・・・まあやってみてください。
でもこれ削除されそうですね。
No.3
- 回答日時:
3次元座標系の平面の式は習いましたか?習ったものとして説明します。
式を見ると、x,y,zの式ですが、、、よ~く見ると、x,2y,3zの式とも見れますよね。まとめてしまいましょう。
u=x
v=2y
w=3z
とおくと、問題は
「u,v,wがu+v+w=6(式1)を満たす時、u^2+v^2+w^2(式2)の最小値とその時のu,v,wを求めよ」
となります。
式1はu-v-w座標系の平面の式です。
式2は原点と点(u,v,w)との距離の2乗です。
またまた問題を言い換えると
「平面(式1)上の点で、原点との距離が最も近い点を探し、距離の2乗を求めよ」と同じですよね。
平面と原点との距離の公式を使えば解けます。
この回答へのお礼
お礼日時:2004/10/05 10:38
3次元座標系の平面の式は、まだ習っていなかったので良く分かりませんが、まとめて計算するという方法もあるのですね。
このご回答を参考にさせていただき、少し勉強してみたいと思います。
ありがとうございました。
No.1
- 回答日時:
正の数も負の数も2乗すると正になります。
ならx^2,y^2,z^2のうちz^2が最小=0のとき
x^2+4y^2+9z~2は最小になりそうな気がします。(あくまで気がするだけですがね)
同様にy~2も最小=0のときx^2+4y^2+9z~2は最小でしょうね。
とすれば
x=6,y=0,z=0 のとき x^2+y^2+z^2=36 で最小という気がしますがどうでしょう。
論理的には穴がありそうですね。なければ駄問、あって良問でしょう。(決して参考にしないでー^^)
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