(2)の問題が分かりません 御願いします

(2)の問題が分かりません
御願いします

No.1 回答者： kuroki55 回答日時： 2018/02/20 11:11

方針だけですが。

θ=0,θ=πでは3点が一直線上に並ぶので半径R=∞になる。
従って、0<θ<πでRは極値を持つ

sinθ=√(1-cos^2θ)
従って
R=√{(a-b･cosθ)/(1-cos^2θ)}

x=cosθ(-1<x<1)と置いて
R=√{(a-bx)/(1-x^2)}

R'=0として極値のxを求めれば良いと思います。

この回答へのお礼

自分もそのように極値を求めようとしたのですが極値が出せずに質問しました、宜しければその先も教えて下さい、御願いします

お礼日時：2018/02/20 15:54

No.2 回答者： kuroki55 回答日時： 2018/02/20 16:51

No.1です。

そうならそう書いて質問してください。（その方が回答が付く確率はかなり大きくなります。）
ところで、微分ができないのでしょうか、それとも微分はできたけどxの求め方が分からないのでしょうか。
どこまで、どうやったかを教えてください。
R'よりも(R^2)'を求めたほうが、一手間減ります。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/02/20 17:46

余弦定理より

AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB*BC*cosθ
よって
　AC^2 = 25 + 9 - 30cosθ
　　　= 34 - 30cosθ

正弦定理より、外接円の半径を R とすると
　AC/sinθ = 2R
よって
　R = (1/2)(1/sinθ) AC = (1/2)(1/sinθ)√(34 - 30cosθ)

これが(1)の答かと思います。

これを変形して
　R = (1/2)√[ (34 - 30cosθ)/sin^2θ]
　　= (1/2)√[ (34 - 30cosθ)/(1 - cos^2θ) ]　　　①

R が最小になるのは、ルートの中の
　 y = (34 - 30cosθ)/(1 - cos^2θ)
が最小になるときです。

ここで、x=cosθ(-1<x<1) とおけば
　y = (34 - 30x)/(1 - x^2)

この微分には、y=f(x)*g(x) で
　y' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)
を使います。

　y' = -30/(1 - x^2) - (34 - 30x)( -2x)/(1 - x^2)^2
　　= -30/(1 - x^2) + 68x - 60x^2)/(1 - x^2)^2
　　= [ -30(1 - x^2) + 68x - 60x^2 ]/(1 - x^2)^2
　　= (-30x^2 + 68x - 30)/(1 - x^2)^2
　　= -(10x - 6)(3x - 5)/(1 - x^2)^2
より、y が極値を持つのは、-1<x<1 の範囲では
　x = 3/5
つまり
　cosθ = 3/5
のとき。

これが極小か極大かを調べます。
　y'' = (-60x + 68)/(1 - x^2)^2 - 2(-30x^2 + 68x - 30)( -2x)/(1 - x^2)^3
　　　= [ (-60x + 68)(1 - x^2) - 120x^3 + 272x^2 - 120x ]/(1 - x^2)^3
　　　= [ (-60x + 68 + 60x^3 - 68x^2 ) - 120x^3 + 272x^2 - 120x ]/(1 - x^2)^3
　　　= [ -60x^3 + 204x^2 - 180x + 68 ]/(1 - x^2)^3
x=3/5 のとき y'' >0 なので、x=3/5のとき y は極小になります。
これは、-1<x<1 の範囲では最小となります。

よって、cosθ = 3/5　のときの R は最小値をとり、最小値は①より
　R = (1/2)√{ [ 34 - 30*(3/5) ] / (1 - 9/25) }
　　= (1/2)√{ [ 34 - 18 ] / (1 - 9/25) }
　　= (1/2)√[16/(16/25)]
　　= 5/2

計算は大変ですが、基本どおりやれば解けるはず。
計算違いがあるかもしれなので、式は自分できちんとトレースしてください。