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私は工学部の学生です。
次の定積分が解けなくて困っています。

 ∫γsin(2nx)dx  [積分範囲:0→π/2](n:自然数)

ただし、γは

 γ=Arccos((-3sinxcosx)/(1+3(cosx)^2)^0.5)

である。(または,γは

γ=Arcsin((1-3(cosx)^2)/(1+3(cosx)^2)^0.5)

と表すこともできる)

どなたかこの難解な積分を解いてください。完全に解けなくてもアドバイスだけでも結構です。よろしくお願いいたします。

A 回答 (6件)

とりあえず、一応、解析的にも解けるみたいです。



うちのmathematicaに入れてみたら、1000行以上の結果をずらずら表示しました。
ちなみに、フリーのmaximaでもできました。(6000行くらいの答えを出してきた。)

#2さんのやり方でやってるのでしょうかね。
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この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
手計算じゃ、無理みたいですね。

お礼日時:2004/10/08 21:56

いずれにせよ,nの値を具体的に決めないと解析的に解く場合はきつい気がします.

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この回答へのお礼

的確なアドバイスありがとうございました。
私も解析的に解くのなら、Rossanaさんのやり方が一番よいと思います。
しかし、実際にこのやり方で計算をしてみたのですが、完全に解くことが出来ませんでした。

お礼日時:2004/10/08 22:01

でも,問題がありました.sin(2nx)やcos(2nx)をtで表現するのは無理があるかも.


I_n=∫[0→π/2]γsin(2nx)dx
とおいて漸化式を作って解いた方がいいかもしれません.
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tanx, sin^2x, cos^2xから成る関数の場合はtanx=tとおいた方が効率がいいかもしれません.


ただ,tan(x/2)=tの方が万能です.
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dγ/dx=1/√{1-((1-3(cosx)^2)/(1+3(cosx)^2)^0.5)^2}・{d((1-3(cosx)^2)/(1+3(cosx)^2)^0.5)/dx}


=1/√{1-((1-3(cosx)^2)/(1+3(cosx)^2)^0.5)^2}・(d()/dxを具体的に計算)
面倒くさいので,すいません.ご自分でやって下さい.

まず,部分積分.
∫[0→π/2]γsin(2nx)dx
=[γ(-1/2n)cos(2nx)]_0^(π/2)-∫[0→π/2]{dγ/dx(-1/2n)cos(2nx)]dx
でdγ/dxに先ほどのものを代入して
sinxとcosxを含む関数の積分となると思う(たぶん).
ということはtan(x/2)=tとおいてsinx=2t/(1+t^2), cosx=(1-t^2)/(1+t^2)を代入して計算していけばできるかも知れない.

以上,勘でものを申してすいませんが,そんな感じでやればもしかしたらできるかもしれません.ちょっとかなり面倒くさそうなので具体的に計算してないので,できるか分かりませんが.
頑張って下さい.
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解析的に解けなければいけないのでしょうか?


質問者さんは工学部の学生さんということなので、
(ちなみに自分も工学部の学生ですが…)
数値計算で強引に求めてしまうのではだめでしょうか?

Excelでわりとすぐに計算できますよ。
dx=0.001としてちょっとやってみたところ、
n=2:(与式)=-0.2147
n=3:(与式)=0.4873
n=4:(与式)=0.0583
ってな感じになりそうです。
いかがでしょう?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
出来れば解析的に求めたいのですが…
しかし、このExcelを使う方法は盲点でした。貴重なアドバイスありがとうございます。

お礼日時:2004/10/08 01:22

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