難解な積分

私は工学部の学生です。
次の定積分が解けなくて困っています。

　∫γsin(2nx)dx　　[積分範囲：0→π/2]（n：自然数）

ただし、γは

　γ=Arccos((-3sinxcosx)/(1+3(cosx)^2)^0.5)

である。（または,γは

γ=Arcsin((1-3(cosx)^2)/(1+3(cosx)^2)^0.5)

と表すこともできる）

どなたかこの難解な積分を解いてください。完全に解けなくてもアドバイスだけでも結構です。よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： funifuni11 回答日時： 2004/10/08 00:00

解析的に解けなければいけないのでしょうか?

質問者さんは工学部の学生さんということなので、
(ちなみに自分も工学部の学生ですが…)
数値計算で強引に求めてしまうのではだめでしょうか？

Excelでわりとすぐに計算できますよ。
dx=0.001としてちょっとやってみたところ、
n=2:(与式)=-0.2147
n=3:(与式)=0.4873
n=4:(与式)=0.0583
ってな感じになりそうです。
いかがでしょう？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
出来れば解析的に求めたいのですが…
しかし、このExcelを使う方法は盲点でした。貴重なアドバイスありがとうございます。

お礼日時：2004/10/08 01:22

No.2 回答者： Rossana 回答日時： 2004/10/08 01:39

dγ/dx=1/√{1-((1-3(cosx)^2)/(1+3(cosx)^2)^0.5)^2}・{d((1-3(cosx)^2)/(1+3(cosx)^2)^0.5)/dx}

=1/√{1-((1-3(cosx)^2)/(1+3(cosx)^2)^0.5)^2}・(d()/dxを具体的に計算)
面倒くさいので，すいません．ご自分でやって下さい．

まず，部分積分．
∫[0→π/2]γsin(2nx)dx
=[γ(-1/2n)cos(2nx)]_0^(π/2)－∫[0→π/2]{dγ/dx(-1/2n)cos(2nx)]dx
でdγ/dxに先ほどのものを代入して
sinxとcosxを含む関数の積分となると思う（たぶん）．
ということはtan(x/2)=tとおいてsinx=2t/(1+t^2), cosx=(1-t^2)/(1+t^2)を代入して計算していけばできるかも知れない．

以上，勘でものを申してすいませんが，そんな感じでやればもしかしたらできるかもしれません．ちょっとかなり面倒くさそうなので具体的に計算してないので，できるか分かりませんが．
頑張って下さい．

No.3 回答者： Rossana 回答日時： 2004/10/08 01:42

tanx, sin^2x, cos^2xから成る関数の場合はtanx=tとおいた方が効率がいいかもしれません．

ただ，tan(x/2)=tの方が万能です．

No.4 回答者： Rossana 回答日時： 2004/10/08 01:45

でも，問題がありました．sin(2nx)やcos(2nx)をtで表現するのは無理があるかも．

I_n=∫[0→π/2]γsin(2nx)dx
とおいて漸化式を作って解いた方がいいかもしれません．

No.5 回答者： Rossana 回答日時： 2004/10/08 01:50

いずれにせよ，nの値を具体的に決めないと解析的に解く場合はきつい気がします．

この回答へのお礼

的確なアドバイスありがとうございました。
私も解析的に解くのなら、Rossanaさんのやり方が一番よいと思います。
しかし、実際にこのやり方で計算をしてみたのですが、完全に解くことが出来ませんでした。

お礼日時：2004/10/08 22:01

No.6 ベストアンサー 回答者： yaksa 回答日時： 2004/10/08 04:52

とりあえず、一応、解析的にも解けるみたいです。

うちのmathematicaに入れてみたら、1000行以上の結果をずらずら表示しました。
ちなみに、フリーのmaximaでもできました。（6000行くらいの答えを出してきた。）

＃２さんのやり方でやってるのでしょうかね。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
手計算じゃ、無理みたいですね。

お礼日時：2004/10/08 21:56