竹とんぼの飛行姿勢について

次のような飛行体（竹とんぼのようなもの）の運動について教えてください。（図参照）
・すべての方向について回転軸は固定されていない
・推力は斜め上方（角度θ）で、作用線は重心を通る
・空気抵抗は無視
推力の作用線は重心を通っており、機体を鉛直方向に回転させる（θを変化させる）力のモーメントはなく、角度θが維持されたままFxによって並進運動が生じるという理解でよいでしょうか。感覚的には時間とともに水平（θ→0）姿勢に移行するように思うのですが、そうであれば、水平姿勢に移行するためのモーメントはどこから生じるのでしょうか。

質問者からの補足コメント

• 必ずしも竹とんぼである必要はないので、竹とんぼの羽の回転によるコマの運動の影響は無視する条件で結構です。非常にゆっくり回転する竹とんぼか、プロペラ回転によらない推力の想定でお願いします。

    補足日時：2018/03/06 23:50

• 竹とんぼの図を掲載したために混乱を招いているところもありましたので、別の図も掲載することにしました。最初の竹とんぼの図を剛体の運動として書き直した図が補足図1です。補足図1において回転が生じるか否か、生じるならその力のモーメントはどのように表現できるかを悩んでいます。
  この問題では力は推力Fと重力gのみとしましたが、さらに拡張して補足図2のように複数の力が働く時の力のモーメントをどう算出するのか（gが影響するのか否か）が知りたい点です。

  
    補足日時：2018/03/07 21:23

No.1 回答者： HA-akihi48 回答日時： 2018/03/07 01:24

竹トンボの羽が、空気を押し下げることで、その反作用力が羽に作用すると、思うのですが。

その反作用力の鉛直方向 の分力と重心にかかる重力によるモーメントにより左回転が生じます。
つまり、羽が空気ん押し下げる反作用力によるものと思うのですが。
どうでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
やはり左回転になるのですね
これをモーメントNを式で表すとどうなるでしょうか。回転軸が重心として、作用点のベクトルをrにすると、
N = rg x g + rf x Fx + rf x Fy
rg：重力のかかる作用点と回転軸の距離は0なので0ベクトル
　 rf：推力Fのかかる作用点と重心（回転軸）の距離（ベクトル）
にとなると思うのですが、rgがゼロベクトルだとgにようるモーメントの作用が現れず、rf x Fx + rf x Fyもゼロになってしまいます。なぜNがゼロなのに回転が生じるのでしょうか。回転軸と重心は一致しないのでようか。

お礼日時：2018/03/07 12:29

No.2 回答者： HA-akihi48 回答日時： 2018/03/07 03:42

推力Fの分力Fyと機体にかかる重力が、同じなら、機体は同じ高さで、Fxにより水平移動します。

そのとき、Fyと重力で遇力 が働き、機体を回転さすモーメントが生じます。回転してFyと重力が同じ鉛直線上にくれば、回転がなくなります。
Fy＞重力ならその差α=(Fy-重力)が鉛直方向に進む力。
(Fy-α)と重力が同じより、遇力となり、これがモーメントとなり機体を左回転させます。Fxによる力が加わり、
その合成ベクトル方向へ進みます。
このように、考えましたが
参考になるでしょうか。

この回答へのお礼

偶力を考えるべきというご指摘ありがとうございます
いまひとつ偶力を理解しきれていないのですが、なぜ水平移動するFxについて力のモーメントを考える必要がないのでしょうか。重心から離れている作用点に力Fxが働いても、偶力が存在しなければ力のモーメントは働かないと理解すればよいのでしょうか。
この場合、力のモーメントは、rf x Fy（rfは重心から推力Fの作用点までの腕）になると思われますが、力のモーメントの合計を式に書くと、
N = rg x g + rf x Fx + rf x Fy
　rg：重力のかかる作用点と回転軸の距離は0なので0ベクトル
　rf：推力Fのかかる作用点と重心（回転軸）の距離（ベクトル）
になりそうなものの、なぜ３項目だけが残る（２項目だけが式からはずれる）のでしょうか。

お礼日時：2018/03/07 12:42

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/03/07 09:27

＞・空気抵抗は無視

それだと、竹トンボは下に落ちますよね？

＞竹とんぼの羽の回転によるコマの運動の影響は無視する条件で結構です

それだと、単に「推力と重力の合力の方向に進む」というだけで、何の考察もいらないと思います。
推力は軸に平行（軸そのものの方向）だし、重力は「重心」に働くので、機体には力のモーメント（回転させるトルク）は発生しなさそうです。


竹トンボをやめて、棒の下端が地面に載っている「コマ」を考えれば、通常の「歳差運動」をすると思います。
「推力」が角運動量 →L、「重力」が下向き →mg なので、機体の先端を紙面の奥側に向かう歳差運動の力
　→N = →L × →mg　（ベクトルの外積）
が働きます。
http://eman-physics.net/dynamics/topspin.html


コマの場合には「接地面が動かない」という束縛条件がありますが、空中に浮遊する竹トンボだとそれがありません。
空中に浮遊している竹トンボでは、推力の鉛直上向き成分と重力とがつり合っていて（差があるとしてもわずか）、上記の「下向き →mg 」に相当する力がほとんど働かないので、「歳差運動の力」もほとんど働かないと思います。
ただ、全体の「重心位置」に対して、「推力」の水平成分が力のモーメント（回転させるトルク）となって、竹トンボを鉛直にしようとする力が働くでしょう。
回転する羽根のジャイロ効果（角運動量を一定に保とうとする、つまり軸を動かすまいとする力）との関係で、ゆっくりと鉛直向きになる、という運動でしょうか。
アナロジーとしては、下記のサイトにある「半球状の底面を持つコマ」の運動に近いのではないでしょうか。
http://www.tsuyama-ct.ac.jp/ippan/H25_houkoku/sa …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
前提条件が不確実で申し訳ありません。わかりやすい例として竹とんぼで質問しましたが逆にわかりにくい質問になってしまいお手数をおかけしてしまいました。
問題を簡素化するために空気抵抗は無視しましたので、それでは飛べないという指摘はもっともです。であれば、推力はロケットエンジンでも磁力でも構いません。また、機体は推力から離れた位置に重心があればよいので回転している必要もありません。
このような条件では機体の傾きθは変動せず水平方向の加速だけが生じるという理解でよいでしょうか。

お礼日時：2018/03/07 12:48

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2018/03/07 09:39

No.3です。

ちょっと訂正。

＞ただ、全体の「重心位置」に対して、「推力」の水平成分が力のモーメント（回転させるトルク）となって、竹トンボを鉛直にしようとする力が働くでしょう。

これは下記ですね。
「羽根を含めた全体の「重心位置」に対して、機体（軸）の重力が反時計回りのモーメントを与えるので、竹トンボを鉛直にしようとする力が働く」
ということですね。

つまり、竹トンボの「重心」の並進運動としては「静止」もしくは「推力と重力の合力」の方向に進み、その「竹トンボの重心」周りに反時計回りの回転運動が起こる（ただしジャイロ効果があるので、軸が軽ければあまり動かない）、という感じでしょうか。

この回答へのお礼

追加の回答ありがとうございます
反時計回りに回転するのですね
この反時計回りの回転運動を力のモーメントの式で表すとどうなるのでしょうか。重心にかかる重力が回転に関わるということだと思うのですが、重心は回転軸に一致しており、重力が回転のための力のモーメントとしてはゼロになってしまい、このあたりが理解できずにいます。

お礼日時：2018/03/07 12:53

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2018/03/07 13:20

図の重力ｇと推力Fの位置が間違っています。

重力ｇも推力Fも位置は重心です。ｇと推力Fの分力Fｙの差で上昇したり下降します。その間推力Fの大きさに比例して推力Fの分力Fxの力で横に進み続けます（・空気抵抗は無視より）。
以上

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
合力はFxになり並進運動のみなるのですね。重力の影響で何らかの回転運動が生じるのではないかと疑問を持ったのですが、回転はせずθは維持されたまま、という見解だと理解しました。

お礼日時：2018/03/07 20:04

No.6 回答者： yhr2 回答日時： 2018/03/07 15:41

No.3&4です。

「お礼」に書かれたことについて。

＞推力はロケットエンジンでも磁力でも構いません。また、機体は推力から離れた位置に重心があればよいので回転している必要もありません。
＞このような条件では機体の傾きθは変動せず水平方向の加速だけが生じるという理解でよいでしょうか。

回転を考えない、つまり「角運動量保存」を考えないのであれば、推力が「機体の先頭」位置にあって一定であれば
　→推力 + →重力
の合力の方向に進みます。
もし、推力の鉛直上向き成分と機体の重力とがつり合っていれば、推力の水平成分によって水平方向に進むでしょう。

ただし、推力の方向と重力の方向が一致しませんから、推力の力点周りに重力によるモーメント（反時計回り）が働いて、推力が鉛直上向きになるように変化すると思います。行き過ぎれば逆の方向のモーメントが働きますから、結果的に「鉛直上向き」に推進力が向くことになります。

#5さんのように「推力が重心に働く」ということは、通常ではないと思います。
もし、推進力が機体の下端の場合には、推力の力点周りに重力によるモーメント（時計回り）が働いて、あっという間に墜落してしまうと思います。ロケットの打ち上げ失敗の図です。
その意味で、推力の位置をどこにとるかは非常に重要だと思います。この場合には、「押す」よりも「引っ張る」方が姿勢は安定します。

この回答へのお礼

何度もご回答いただき大変感謝致します
「推力の力点周りに重力によるモーメント（反時計回り）が働く」とのことですね。モーメントは回転軸、すなわち、このケースでは重心周りについて考えるべきと思っていました。
私はどうやら回転軸の考え方を理解できていないようです。

お礼日時：2018/03/07 20:15

No.7 回答者： fxq11011 回答日時： 2018/03/07 18:41

FXに進むんですね。

竹とんぼは移動せず、相対的にFxの風が吹いてくるとします。
羽を風に垂直の状態で停止するとどうなるでしょう（左回転の竹とんぼとします）。
風に対し、右側のピッチ角が大きくなりますね、左側はそれより小さくなります。
実際は勢いよく回転していますが、この風に対するピッチ角の差に相当する揚力の差が左右で出ます。
当然推力というより羽の部分に左へ旋回させる力が働きます。
あなたのモデルは流体力学なんか完全に無視したモデルです。
羽の推力ではなく、紐でF方向に引っ張れば・・・・のモデルです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
竹とんぼの姿勢復元は揚力によって行われるとのことで理解しました。
また、質問のモデルの例が不適切で申し訳ありませんでした。ご指摘のように対象としたモデルは「紐でF方向に引っ張れば」です。質問の補足にこの点を追記させて頂きました。このようなモデルの場合には回転せず姿勢復元もしない、ということですね。

お礼日時：2018/03/07 21:27

No.8 ベストアンサー 回答者： HA-aki41 回答日時： 2018/03/08 01:38

No1.2です。

スマホは投稿が入りにくので、遅くなりました。徹夜になりました。Fx方向のモーメンが抜けてました。
FxとFyの力を重心へ平行移動しますと、重心にはFx,Fyの力の他に、モーメントがかかります。
機体の重心から推力までの距離をLとしますとFx,Fyによるモーメンは
Fx=Fsinθ
Fy=Fcosθ
より
Fx*Lcosθ-Fy*Lsinθ =
(Fsinθ)*Lcosθ-(Fcosθ)*
Lsinθ=0 これより機体を回転さすモーメントは生じない。

そして、重心に移動した力は、Y方向では Fy-重力
X方向では Fx
機体は一定の角度θを保って、 Fy-重力 と Fx の合成ベクトル方向に並進運動します。
このとき、
推力が一定なら合成ベクトル方向にずっと並進運動します。
推力が弱くなるにつれて、機体は一定の角度θを保ちながら、変化する合成ベクトル方向に並進運動します。合成ベクトル方向は徐々に水平に近 ずきます。
Fy＜重力 なら 機体は角 度θを保ったまま下向き斜めに合成ベクトル方向に並進運動します。つまり(重力-Fy)の力は下向き、Fxは水平。よって機体は斜め下へという合成ベクトル方向へ並進運動をすることになります。

考えるポイントは、力を重心に移動することにありま
す。
Fx,Fyを重心へ平行移動すると、移動距離分のモーメントが重心にかかります。

先般、アメリカの民間ロケットが打ち上げ後に、発射台 に戻ってきた映像をテレビでみましたが、機体は傾いた状態で斜め下方向に並進運動して、発射台に着地しました。

つまり、一定の推力を出し続けるなら、並進運動方向も一定となります。

(Y方向の推力 Fy)= 重力 、ならY方向の力が働かないので、機体の傾斜角θのまま
水平方向に並進運動すると思います。
推力を分力しないで考えると、
推力と機体の重心方向にずれがあれば、つまり、推力を機体の重心方向に移動するとずれ分の移動モーメントが機体を回転させ、機体の上部、下部が上、下になりながら、すぐ落下します。
今、推力の作用線が重心線を通っているため、移動モーメントが0より鉛直方向の回転は生じないです。
推力そのままの計算と、分力にしての計算は同じことを形を代えて言っているだけです。

最初に記したのは、推力を分力に分けての計算です。FxとFyの移動による移動モーメントが、機体を回転さすモーメントとして働いています。
今、推力の作用線と重心線が一致していますので、
Fxの移動モーメントが右回
転、Fyの移動モーメントが左回転でともに同じ値より、機体が回転しません。

X,Yどちらかにずれていた場合、それぞれの移動モーメントに差ができ、その差のモーメントで、機体が回転します。
ご質問の内容に合っていれば、幸いです。

この回答へのお礼

大変詳細な回答に感謝します。
質問させて頂いたモデルでは回転しないということで理解しました。
竹とんぼであると復元（回転）するような感覚でしたが、これは羽の揚力や独楽の運動のような別の効果によるものなのですね。ロケットの例もとても貴重な情報です。今回のモデルとは推進力の方向が違う（ロケットは重心方向、このモデルは重心と正反対方向）ものの同等のモデルと思います。ネットで動画を探して見ます。
ありがとうございました。

お礼日時：2018/03/08 12:19

No.9 回答者： HA-aki41 回答日時： 2018/03/08 02:47

補足図2もF,Faともに水平鉛直方向に分力して、それぞれの分力を重心の方向へ、平行移動します。

移動分の力のモーメントの和をだします。
また、重心に移動した力のX,Y方向のそれぞれの和により、X、Y方向の力がでます。
Y方向には重力との差し引きになります。
補足図1の式はFx,Fy を使う
と
Fx (rf*cosθ)-Fy(rf*sinθ)
Fx=Fsinθ
Fy=Fcosθ
が回転モーメントの式です。
X,Y方向の力は、力を重心に移動しているので重心にかかります。
X方向は Fx
Y方向は F-重力
補足図2の式もFa,FともX,Y方向に分力して、それぞれを重心に平行移動、そのとき移動によって力のモーメントが重心にかかります。

図にある式は、モーメントになっていません。
力は腕(rf,ra)に直角でないと
モーメントではないのです。

そのため、力をX,Y方向へ分力すれば、重心との水平、垂直距離をかけてモーメントが
もとまります。
図中の式は、モーメントになってません。

以上、参考にしてください。

この回答へのお礼

モーメントの算出方法も理解できました。
ありがとうございました。

お礼日時：2018/03/08 12:22

No.10 回答者： HA-aki41 回答日時： 2018/03/08 03:12

補足図2のように機体に多くの力が作用しても、補足図1と同じやり方になります。

つまり、全ての力を水平、垂直方向に分力して重心へ平行移動させて、重心にあつめるのです。
そのとき、それぞれの分力の力のモーメントも重心にはたらきます。
重心での水平、垂直のそれぞれの力の合力をもとめる。よって、機体に働く、水平、垂直方向への力が解ります。

また重心に働く、力のモーメントの合力で機体の回転の有無と回転方向が解ります。

このような、解法は構造力学で、よく使います。

頑張ってください。

この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時：2018/03/08 12:23