高校の数学についてです。写真の問題でf(x)は定数でないと書いてあるのにf(x)=0が三重解を持つ

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質問者：ラキタ1023
質問日時：2018/03/29 16:02
回答数：4件

高校の数学についてです。

写真の問題でf(x)は定数でないと書いてあるのにf(x)=0が三重解を持つことを示せというのは矛盾していませんか？
f(x)=0の時点で成り立っていないのにどうして三重解を示せという問題になるのか意味がわかりません。
どなたか教えてください。

解答の一部なのですが、これだとxの値によらず全て0になるからf(x)は定数になってしまっているということですか？

補足日時：2018/03/30 09:28
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回答 (4件)

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No.3ベストアンサー

回答者：お茶碗持つ方
回答日時：2018/03/29 17:20

f(x) が定数でない多項式とは、独立変数 x の変化によって f(x) の値が変動する多項式であることを意味します。

逆に f(x) が定数式であるとは、例えば、
f(x)=c=299792458m/s
とか
f(x)=e=2.718281828459...
のように、x の値とは無関係に一定の値を示すことを意味しています。

方程式 f(x)=0 は、f(x) が変動するからこそ成り立つのであって、定数式ならば「解なし」または「全ての値」(f(x)=0 という定数関数である場合) となってしまい、問題として成立しません。

方程式とは、2つ以上の異なる式が等号で結ばれている時、それが成立するための条件を求めることを意味しています。

因みにこの問題は、f(x)がn次式の場合、f’(x)はn-1次式、f’’(x)はn-2次式なので
n=(n-1)+(n-2)
n=3
となり、f(x)は3次式であることがわかります。そこで、
f(x)=ax³+bx²+cx+d (a≠0)
とおくと
f’(x)=3ax²+2bx+c
f’’(x)=6ax+2b
f’(x)f’’(x)=18a²x³+18abx²+(4b²+6ac)x+2bc
となるので、係数比較で
a=18a², b=18ab, c=4b²+6ac, d=2bc
となり、
a(18a-1)=0 (a≠0)
a=1/18
c=6b²
d=12b³
となり
f(x)=(1/18)x³+bx²+6b²+12b³
=(1/18){x³+18bx²+108b²+216b³}
=(1/18)(x+6b)³
となり、方程式 f(x)=0 は3重解
x=-6b
を持つことが判ります。