sinx/(cosx)＾3 の不定積分を計算すると。 画像の左半分のように、 (1/2)(tanx)

sinx/(cosx)＾3
の不定積分を計算すると。

画像の左半分のように、
(1/2)(tanx)＾2+C
となりましたが。

解答みたら(答えしかないが)
1/(2(cosx)＾2)+C
とあり、どうしてそうなるか。
画像の右半分のように
やってみると。
確かにそうなりますが。

私の
(1/2)(tanx)＾2+C
は、間違いか？
その理由は？

質問者からの補足コメント

• 1+(tanx)＾2=1/(cosx)＾2
  をつかって考えると。
  積分定数で、
  -1/2+C=C'
  のような置き換えすると。
  私の結果と解答の結果が。
  積分定数の取り方以外は一致してるので。
  私の計算結果でもよかったのか。。
  と、思ったのですが。
  
  このような理解で
  なにか問題があれば教えて下さい。

  
    補足日時：2018/04/01 22:38

• 1/2(cosx)＾2
  も微分したら。
  sinx/(cosx)＾3
  になりました。

  
    補足日時：2018/04/01 23:29

No.2 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/04/01 23:39

ANo.1です。

肝心なことを書き忘れていました。

(1/2)*(tanX)^2+C
=(1/2)*(sinX)^2/(cosX)^2+C
=(1/2)*(1-(cosX)^2)/(cosX)^2+C
=(1/2)*(1/(cosX)^2)-(1/2)*((cosX)^2/(cosX)^2))+C
=(1/2)*(1/(cosX)^2)-(1/2)+C
=(1/2)*(1/(cosX)^2)+C' (C'=-(1/2)+C)

C, C'は積分定数で値は任意の実数なので、質問者さんの答えでも正しいです。

この回答へのお礼

積分定数の取り方違いは同じ
不定積分の結果とわかりました。

ありがとうございます。

補足一つ目で、
自分が
1+(tanx)＾2=1/(cosx)＾2
を使ったやり方より。

ご紹介してもらった
変形のほうが汎用的で、
参考になりました。

ありがとうございました。

お礼日時：2018/04/02 00:08

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/04/01 23:14

ご質問者の解答を微分すると、

(1/2)*(tanX)^2+C
=tanX*(tanX)'
=tanX*(1/(cosX)^2)
=(sinX/cosX)*(1/(cosX)^2))
=sinX/(cosX)^3

なので、合っていますね。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

そうでした！！
再度、微分して確かめれば。
よかっただけでした。

私、アホみたいですね。

先ほど、
補足を、一件、追加しましたが。

1/2(cosx)＾2
も微分したら。
sinx/(cosx)＾3
になりました。

どうも、ありがとうございました。

お礼日時：2018/04/01 23:31