数学の問題について。 次の不定方程式の整数解を求めなさい。 (1)2x-3y=21 解答 2x=3(

数学の問題について。

次の不定方程式の整数解を求めなさい。
(1)2x-3y=21

解答
2x=3(y+7)･･･①
2と3は互いに素だからxは3の倍数。
これをx=3k(kは整数)として
①に代入すると
2･3k=3(y+7)
2k=y+7
y=2k-7
よって求める整数解は
(x,y)=(3k,2k-7) (kは整数) →(答)

(2)52x+539y=19

解答
539=52･10+19より
52x+(52･10+19)y=19
52(x+10y)=19(1-y)･･･①
52と19は互いに素なので
1-yは52の倍数で
これを1-y=52k
y=1-52k(kは整数)とかいて
①に代入すると
52｛ x+10(1-52k) ｝=19･52k
x+10-520k=19k
x=539k-10
よって求める整数解は
(x,y)=(539k-10,1-52k) (kは整数) →(答)

(3)7x-17y=1

解答
7x-17y=1･･･①
7･5-17･2=1･･･②
①-②より
7(x-5)-17(y-2)=0
7(x-5)=17(y-2)･･･③
7と17は互いに素なので、
x-5は17の倍数で
これをx-5=17k
x=17k+5(kは整数)
③に代入して
7･17k=17(y-2)
7k=y-2 よってy=7k+2
よって、求める整数解は
(x,y)=(17k+5,7k+2) (kは整数) →(答)

この(1)～(3)は全て解法が違っていると思うのですが、なぜこのように、問題によって区別して違う解き方をしているのですか？また、(1)～(3)の解法の違いを教えていただけると嬉しいです。

No.1 ベストアンサー 回答者： mathstudent 回答日時： 2018/04/06 18:42

(1)と(2)は一見違うように見えますが、やっていることはほぼ同じです。

(1)の場合、

『2x-3y=21』は『2x=3(y+7)』と右辺に移項すると綺麗に因数分解できます。

しかし、(2)の場合

『52x+539y=19』は『52x=－539y+19』としても、右辺が綺麗に因数分解できません。

なので、その前に式変形を施して、移項したら綺麗に因数分解できるように(1)みたいに解けるようにしているわけです。

(3)は(1)や(2)と違います。

一つ具体的に解を求めてしまう方法です。一つ求めることが出来れば、因数分解された等式の形を作ることができます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
(1)、(2)違うように見えて、どちらも因数分解ができるように工夫されているのですね。
個人的に(3)の解き方がわかりやすいなぁと思いました。

お礼日時：2018/04/07 15:47

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2018/04/07 09:00

(1)～(3)は全て解法が違っているように見えますが、（１）の①、（２）の①、（３）の③も異なる素数の倍数の等式で一致しています。

素数の性質を上手く利用した解法です。私の解法に一つ手段が加わりました、ありがとうございます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
確かに、どれも因数分解を経て、素数の性質を上手く使っていますね。そうやって考えれば、やっていることはほぼ一緒なんですね。
こちらこそありがとうございます。

お礼日時：2018/04/07 15:59

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2018/04/06 21:18

＞問題によって区別して違う解き方をしているのですか

一つの問題でも、いろいろな解き方があると云う事だと思いますよ。
一般的には、一つの特殊解を見つけて、それを基に解く方法が用いられると思います。

(1),(3) の様に x,y の係数が一桁の場合は、見ただけで特殊解が見つかる事が多いですね。
(2) の場合は、問題が特殊すぎるようにも思います。539＝52×10+19 がすぐに見つかりますから。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど、ひとつの問題でもたくさんのやり方がある、ということだったんですね！
特殊解を見つけるやり方は、わかりやすいし、一般的ですよね。

お礼日時：2018/04/07 15:55

No.3 回答者： lawson 回答日時： 2018/04/06 19:10

さっきの(1)のところ、

書き間違えありました。
2x-3y=21
2・3-3・(-5)=21
で、
省略しましすが。
(x,y)=(3k+3,2k-5)
になったけど。
kをk-1に置き換えたら、
(x,y)=(3k,2k-7)
になるからOKかな。
と書きたかった。

No.2 回答者： lawson 回答日時： 2018/04/06 18:44

(2)だけ特殊に見えるです。

(1)は、
y=(2/3)x-7
に変形して。
(2/3)の分母の3を代入したら、
(x,y)=(3,-5)という特殊解が見つかったので。

2x-3y=21
2・3+3・(-5)=21
の上から下引算すると、
省略しますが。
(x,y)=(3k+3,2k+5)
になった。
これでもOKかなと。
kをk-1に置き換えたら
(x,y)=(3k,2k-7)
になるから。

(2)は、とばして。

(3)ですが。
y=(7/17)x-1/17
y=(7x-1)/17
になってyを整数にするための値をxを0から1ずつ増やして当てはめると。
x=5のときにいけるから。
特殊解
(x,y)=(5,2)となった。

＊元の与式のままだと。
x,y同時に考えなきゃいけなくて、見つけるのが、しんどいから。
相手のyが整数になるように、xの値だけ見てみつけたいからこうしている。

なんしか、
見つけた特殊解を使って。

7x-17y=1
7・5-17・2=1
となって上から下引算すると。
あとは、省略しますが。
(x,y)=(17k+5,7k+2)
になった。

で。。。
問題の(2)ですが。。。
y=(-52/539)x+19
で、(x,y)=(539,-33)
が、特殊解か？
と思って。
52x+539y=19
52・539+539・(-33)=19・539
で、上から下の引算しようかと。思ったのですが。。
ここで、困ったことになりまして。
上から下の引算したときに、
=の右側が、ゼロになってくれないのですよ。
そういう意味で(2)だけ
特殊なのかな。
つまり、単純に、
x,yの組み合わせを
与えらた式の係数との
積の和とかで
特殊解を見つけるのが難しいのではと。。
思ったのです。

私個人は、
y=なんとかで。
見つけて、
上から下の引算やってみて。
この現象がおきたものだけ。
質問文で出してくれた
(2)の解法でやろうかと思いました。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私も最初(1)は、特殊解を見つけてやるやり方でやりました。でも答えが、仰る通り3k+3,2k-5になり、なぜ違うのだろう。と思っていました。なるほど結果的に3k,2k-7になるのですね！
(2)少し特殊ですよね。

お礼日時：2018/04/07 15:52