√3が有理数でないことを証明せよ。 この問題が分かりません。解答お願いします。

√3が有理数でないことを証明せよ。

この問題が分かりません。解答お願いします。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2018/04/19 11:31

背理法が簡単ね

√3＝n/m nとｍはお互いに素である整数
3＝ｎ²/m²
3m²＝ｎ²
ってことだから、nは3の倍数であるから、ｎ²は9の倍数、よってｍも3の倍数になり、
nとｍはお互いに素でない
ってなっちゃう。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/04/19 11:49

有理数:分母分子が整数である分数(但し分母は0でない）

素因数分解の一意性定理(数論の基本定理）を使う。
100=2×2×5×5（100はこの一通りにしか素因数分解出来ない）

√3=a/b(有理数)となった、と仮定する。

両辺を2乗すると、3=a²/b²

∴a²=3b²
両辺を素因数分解すると、
左辺：3は0個、又は、偶数個
右辺：3は奇数個

これは素因数分解の一意性定理に反するので矛盾。

∴√3=a/bにはならない。

No.3 回答者： satoumasaru 回答日時： 2018/04/19 16:46

高校数学学習サイト

https://highschoolmath.005net.com/reidai/root3.php

有理数でないことの証明が掲載されています。