一次式の積

x^2+xy-2y^2+4x+kx+3
がx, yについての一次式の積で表される時、kの値を求めよ。

＜答案＞
　解の公式より
　　x=( -y-4±√(9y^2-4(k-2)y+4) ) /2
(1)9y^2-4(k-2)y+4が0より大きいとき　→一次式の積にならない
(2)9y^2-4(k-2)y+4が平方数のとき、→一次式の積となる
　　　　9y^2-4(k-2)y+4=0について判別式D=0　→　面倒
　　　　9y^2-4(k-2)y+4が(3y±2)^2となる　→k=-1, 5
(3)9y^2-4(k-2)y+4＝0となる。→???

(2)でとけば答えにたどり着くのですが、(3)でも一次式の積になるのではないかと思うのですが、どうなんでしょうか？具体的には(x+y/2-2)^2になるんですが、元の式と一致しないので、これは誤りなのはわかります。なぜ、(3)の条件ではダメなのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 元の式を間違えていました。
  x^2+xy-2y^2+4x+ky+3＝0
  です。申し訳ございません。

    補足日時：2018/04/24 00:02

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/04/24 01:34

因数定理があるから, 代数方程式 f(x) = 0 の解が求まれば左辺 f(x) を因数分解できる. だから, あなたのやりかたが完全に間違っているわけではない. とはいえいきなり「解の公式より」はおかしい (「解」ってなんだ) し, ここに書いてある方法はルートの処理がめちゃくちゃ. 「0 より大きい」とか「平方数」ってどういうこと?

それから (3) でなにをどうして (x+y/2-2)^2 が出てきたんですか?

ちなみに「0」は平方数だから (3) は (2) に完全に含まれるはず.... だけど処理がめちゃくちゃだからあんまり意味はないような気もする.

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2018/04/24 02:12

No.3 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/04/24 01:30

ANo.2です。

>元の式を間違えていました。
>x^2+xy-2y^2+4x+ky+3＝0

求めたいのはxでもyでもなくkですよね。
答案の解法だと、「9y^2-4(k-2)y+4が(3y±2)^2となる」と「9y^2-4(k-2)y+4が0より大きいとき　→一次式の積にならない」とが矛盾します。

この場合、二次方程式の解の公式ではなく、No.2で回答した解法のほうが簡単です。
特にx,yが入った二元二次方程式であればなおさらです。
式が間違っていたとのことなので、修正版を以下に書きます。

一次式の積を(x+py+q)(x+ry+s) (p,q,r,s: 係数)とすると、

(x+py+q)(x+ry+s)
=(x+py)(x+ry) + s(x+py) + q(x+ry) + qs
x^2 + (p+r)xy + pry^2 + (q+s)x + (ps+qr)y +qs

これをx^2 + xy - 2y^2 + 4x + ky + 3と比較すると、

p+r=1…(1)
pr=-2…(2)
q+s=4…(3)
ps+qr=k…(4)
qs=3…(5)

(1)より、r=1-p…(1)'
(1)'を(2)に代入すると、
p(1-p)=-2
p^2 - p -2 =0
(p+1)(p-2)=0
p=-1
p=2

(3)より、s=4-q…(3)'
(3)'を(5)に代入すると、
q(4-q)=3
q^2 - 4q +3 =0
(q-1)(q-3)=0
q=1
q=3

p=-1の場合：
r=2
p=-1, r=2を(4)に代入すると
-s+2q=k…(4)'
(3)+(4)'より
3q=k+4

q=1の場合：
3=k+4
k=-1

1+s=4
s=3

q=3の場合：
9=k+4
k=5

3+s=4
s=1
===============================================
p=2の場合：
r=-1
p=2, r=-1を(4)に代入すると
2s-q=k
2s=q+k…(4)''
(4)''を(3)に代入すると
2q+2s=8
2q+(q+k)=8
3q+k=8

q=1の場合：
3+k=8
k=5

1+s=4
s=3

q=3の場合：
9+k=8
k=-1

2+s=4
s=2
================================================
整理すると、
p=-1, q=1, r=2, s=3のとき、k=-1…(a)
p=-1, q=3, r=2, s=1のとき、k=5…(b)
p=2, q=1, r=-1, s=3のとき、k=5…(c)
p=2, q=3, r=-1, s=1のとき、k=-1…(d)
pとr、qとsは互いに置換可能なので(a)と(d)および(b)と(c)は同じ。（重複する）

よって、求めるkは、
k=-1, 5

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。
「9y^2-4(k-2)y+4が0より大きいとき　→一次式の積にならない」
は確かにおかしいですね。
9y^2-4(k-2)y+4が( 　)＾2の形になる可能性がありますし。

No4の回答者さんがおっしゃるように
(3)は(2)に含まれているので、意味がないですね。

お礼日時：2018/04/24 02:11

No.2 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2018/04/23 22:23

x^2 + xy - 2y^2 + 4x + kx + 3を=0と二次方程式と捉えている時点で間違っていると思います。

一次式の積を(x+py+q)(x+ry+s) (p,q,r,s: 係数)とすると、

(x+py+q)(x+ry+s)
=(x+py)(x+ry) + s(x+py) + q(x+ry) + qs
x^2 + (p+r)xy + pry^2 + (q+s)x + (ps+qr)y +qs

これをx^2 + xy - 2y^2 + 4x + kx + 3=x^2 + xy - 2y^2 + (4+k)x + 3と比較すると、

p+r=1…(1)
pr=-2…(2)
ps+qr=0…(3)
qs=3…(4)
q+s=4+k…(5)

(1)より、r=1-p…(1)'
(1)'を(2)に代入すると、
p(1-p)=-2
p^2 - p -2 =0
(p+1)(p-2)=0
p=-1
p=2

p=-1の場合：
r=2
p=-1, r=2を(3)に代入すると
-s+2q=0
s=2q…(3)'
(3)'を(4)に代入すると
2q^2=3
q=±sqrt(3/2)
これよりs,q,q+sは、
q=sqrt(3/2), s=2sqrt(3/2), q+s=3sqrt(3/2)
q=-sqrt(3/2), s=-2sqrt(3/2), q+s=-3sqrt(3/2)

これより求めるkは
±3sqrt(3/2)=4+k

k=-4±3sqrt(3/2)
(p=-1, q=±sqrt(3/2), r=2, s=±2sqrt(3/2))

p=2の場合：
r=-1
これはp=-1, r=2の鏡像関係となり、q=±2sqrt(3/2), s=±sqrt(3/2)となる。

q+sはp=-1の場合と変わらないため、求めるkは結局k=-4±3sqrt(3/2)となり変わらない。

以上より、求めるkの値は、

k=-4±3sqrt(3/2)

この回答へのお礼

なるほど、恒等式的な解き方をするのですね。
与え式＝a(x+py+q)(x+ry+s)
係数比較よりaは必ずa=1
後は展開して、比較というわけですね。

私が2次方程式と見たのは
ax^2+bx+c=0の解をα, βとすると
ax^2+bx+c=a(x-α)(x-β)とできるから
x^2+xy-2y^2+4x+ky+3＝0とおいて、
その解を解の公式で求め
(x-α)(x-β)
としたつもりでした。
あとはα、βがyの一次式になるようにすればいいと考え、
ルートの中身について考えたときに、（１）～（３）を考えたのですが、
これは誤りだったというわけでしょうか？

お礼日時：2018/04/24 00:01

No.1 回答者： さすらいの桃太郎 回答日時： 2018/04/23 22:05

勉強お疲れ様です。

元の式＝０にxについて解の公式を使ったようですが、ルートの中が違っていると思います。元の式が違うのか、計算が違うのか、ご確認ください。

この回答へのお礼

x^2+xy-2y^2+4x+ky+3＝0
でした、申し訳ないです

お礼日時：2018/04/24 00:01